Comment étudier la convergence… : En observant que (u_n) converge si et… — ECG1 appliquées | MetMat

Comment étudier la convergence d'une suite à l'aide de la série télescopique $\sum (u_{n+1}-u_n)$ ?

En observant que $(u_n)$ converge si et seulement si la série $\sum (u_{n+1}-u_n)$ converge, puis en étudiant cette série (éventuellement par convergence absolue)

Prouver qu'une suite $(u_n)$ admet une limite finie en étudiant la nature de la série télescopique $\sum (u_{n+1}-u_n)$ associée.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Montrer que la suite $(u_n)_{n\ge 1}$ définie par $u_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2}$ converge (on admettra que $\frac{1}{k^2}\le \frac{1}{k(k-1)}$ pour $k\ge 2$ ).

L'objectif

Prouver qu'une suite $(u_n)$ admet une limite finie en étudiant la nature de la série télescopique $\sum (u_{n+1}-u_n)$ associée.

Le principe

La relation $u_{n+1}=u_{n_0}+\sum_{k=n_0}^n (u_{k+1}-u_k)$ (somme télescopique) montre que la suite $(u_n)$ converge si et seulement si la série $\sum (u_{n+1}-u_n)$ converge. Pour étudier cette série, on utilise souvent la convergence absolue : si $\sum |u_{n+1}-u_n|$ converge, alors la série $\sum (u_{n+1}-u_n)$ converge, donc $(u_n)$ converge.

La méthode

1
Je forme la différence $v_n=u_{n+1}-u_n$ et j'écris la relation télescopique $u_{n+1}=u_{n_0}+\sum_{k=n_0}^n v_k$ .
2
J'étudie la nature de la série $\sum v_n$ : je majore $|v_n|$ par le terme général d'une série convergente connue (géométrique de raison $|q|<1$ , exponentielle, ou autre série à termes positifs convergente admise).
Comment reconnaître et sommer une série géométrique, sa dérivée, ou la série exponentielle ?Voir
3
Je conclus que $\sum v_n$ converge (absolument), donc que la suite $(u_n)$ converge vers une limite finie.
Comment utiliser la convergence absolue pour conclure à la convergence d'une série ?Voir

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Montrer que la suite $(u_n)_{n\ge 1}$ définie par $u_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2}$ converge (on admettra que $\frac{1}{k^2}\le \frac{1}{k(k-1)}$ pour $k\ge 2$ ).

Étape 1 —

Je forme la différence

v_n=u_{n+1}-u_n

et j'écris la relation télescopique

u_{n+1}=u_{n_0}+\sum_{k=n_0}^n v_k

Je pose $v_n=u_{n+1}-u_n=\frac{1}{(n+1)^2}$ , donc $(u_n)$ converge si et seulement si la série $\sum v_n=\sum \frac{1}{(n+1)^2}$ converge.

Étape 2 —

J'étudie la nature de la série

\sum v_n

: je majore

|v_n|

par le terme général d'une série convergente connue (géométrique de raison

|q|<1

, exponentielle, ou autre série à termes positifs convergente admise).

Pour $n\ge 1$ , $|v_n|=\frac{1}{(n+1)^2}\le \frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$ ; la série télescopique $\sum \left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)$ converge (somme $=1$ ).

Étape 3 —

Je conclus que

\sum v_n

converge (absolument), donc que la suite

(u_n)

converge vers une limite finie.

Par comparaison de séries à termes positifs, $\sum \frac{1}{(n+1)^2}$ converge, donc $(u_n)$ converge vers une limite finie.

La suite $\left(\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2}\right)$ converge vers une limite finie.

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Comment étudier la convergence d'une suite à l'aide de la série télescopique ∑(un+1−un)\sum (u_{n+1}-u_n)∑(un+1​−un​) ?

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Pour comprendre, fais des exercices !

Comment étudier la convergence d'une suite à l'aide de la série télescopique $\sum (u_{n+1}-u_n)$ ?

En observant que $(u_n)$ converge si et seulement si la série $\sum (u_{n+1}-u_n)$ converge, puis en étudiant cette série (éventuellement par convergence absolue)