Comment montrer qu'une série… : En calculant explicitement S_n=sum_… — ECG1 appliquées | MetMat

Comment montrer qu'une série converge à partir de la suite de ses sommes partielles ?

En calculant explicitement $S_n=\sum_{k=n_0}^n u_k$ (éventuellement par télescopage) et en étudiant sa limite quand $n\to+\infty$

Démontrer qu'une série $\sum u_n$ converge et déterminer sa somme en étudiant la suite de ses sommes partielles.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Étudier la nature de la série $\sum_{n\ge 1} \frac{1}{n(n+1)}$ et, si elle converge, calculer sa somme.

L'objectif

Démontrer qu'une série $\sum u_n$ converge et déterminer sa somme en étudiant la suite de ses sommes partielles.

Le principe

Par définition, la série $\sum_{n\ge n_0} u_n$ converge si et seulement si la suite $(S_n)_{n\ge n_0}$ définie par $S_n=\sum_{k=n_0}^n u_k$ admet une limite finie $\ell\in\mathbb{R}$ ; dans ce cas, on note $\sum_{n=n_0}^{+\infty} u_n=\ell$ .

La méthode

1
J'écris la somme partielle $S_n=\sum_{k=n_0}^n u_k$ en explicitant les premiers termes pour repérer une structure exploitable (télescopage, somme géométrique, etc.).
2
Je simplifie $S_n$ sous forme fermée, en particulier si $u_k=a_{k+1}-a_k$ (télescopage) : $S_n=a_{n+1}-a_{n_0}$ .
3
J'étudie $\lim_{n\to+\infty} S_n$ ; si cette limite existe et est finie, la série converge et $\sum_{n=n_0}^{+\infty} u_n=\lim_{n\to+\infty} S_n$ , sinon la série diverge.
Comment calculer la limite d'une fonction en un point ou à l'infini ?Voir

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Étudier la nature de la série $\sum_{n\ge 1} \frac{1}{n(n+1)}$ et, si elle converge, calculer sa somme.

Étape 1 —

J'écris la somme partielle

S_n=\sum_{k=n_0}^n u_k

en explicitant les premiers termes pour repérer une structure exploitable (télescopage, somme géométrique, etc.).

J'observe la décomposition $\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$ , ce qui donne $S_n=\sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)$ .

Étape 2 —

Je simplifie

S_n

sous forme fermée, en particulier si

u_k=a_{k+1}-a_k

(télescopage) :

S_n=a_{n+1}-a_{n_0}

Par télescopage, $S_n=\frac{1}{1}-\frac{1}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}$ .

Étape 3 —

J'étudie

\lim_{n\to+\infty} S_n

; si cette limite existe et est finie, la série converge et

\sum_{n=n_0}^{+\infty} u_n=\lim_{n\to+\infty} S_n

, sinon la série diverge.

Quand $n\to+\infty$ , $\frac{1}{n+1}\to 0$ donc $S_n\to 1$ : la série converge et $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n(n+1)}=1$ .

La série converge et $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n(n+1)}=1$ .

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Comment montrer qu'une série converge à partir de la suite de ses sommes partielles ?

En calculant explicitement Sn=∑k=n0nukS_n=\sum_{k=n_0}^n u_kSn​=∑k=n0​n​uk​ (éventuellement par télescopage) et en étudiant sa limite quand n→+∞n\to+\inftyn→+∞

Pour comprendre, fais des exercices !

En calculant explicitement $S_n=\sum_{k=n_0}^n u_k$ (éventuellement par télescopage) et en étudiant sa limite quand $n\to+\infty$