Comment utiliser la convergence… : En prouvant la convergence de sum |u_n|… — ECG1 appliquées | MetMat

Comment utiliser la convergence absolue pour conclure à la convergence d'une série ?

En prouvant la convergence de $\sum |u_n|$ (série à termes positifs) pour conclure à la convergence de $\sum u_n$

Établir la convergence d'une série $\sum u_n$ à termes de signe quelconque en démontrant la convergence de la série des valeurs absolues.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Montrer que la série $\sum_{n\ge 0} \frac{(-1)^n}{n!}$ converge et préciser sa somme.

L'objectif

Établir la convergence d'une série $\sum u_n$ à termes de signe quelconque en démontrant la convergence de la série des valeurs absolues.

Le principe

On admet le résultat : si la série $\sum |u_n|$ converge, alors la série $\sum u_n$ converge ; dans ce cas, on dit que $\sum u_n$ converge absolument. Pour établir la convergence de $\sum |u_n|$ (qui est à termes positifs), on majore $|u_n|$ par le terme général d'une série convergente connue (typiquement géométrique de raison $|q|<1$ , ou exponentielle).

La méthode

1
J'écris $|u_n|$ et je cherche une majoration de la forme $|u_n|\le v_n$ où $(v_n)$ est à termes positifs, valide à partir d'un certain rang.
2
Je prouve que la série $\sum v_n$ converge (typiquement série géométrique de raison $|q|<1$ avec $|q|<1$ , ou série exponentielle $\sum \frac{a^n}{n!}$ ).
Comment reconnaître et sommer une série géométrique, sa dérivée, ou la série exponentielle ?Voir
3
Par comparaison de séries à termes positifs, j'en déduis que $\sum |u_n|$ converge, puis je conclus par le théorème de convergence absolue que $\sum u_n$ converge.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Montrer que la série $\sum_{n\ge 0} \frac{(-1)^n}{n!}$ converge et préciser sa somme.

Étape 1 —

J'écris

|u_n|

et je cherche une majoration de la forme

|u_n|\le v_n

où

(v_n)

est à termes positifs, valide à partir d'un certain rang.

J'écris $\left|\frac{(-1)^n}{n!}\right|=\frac{1}{n!}$ : il s'agit du terme général d'une série à termes positifs.

Étape 2 —

Je prouve que la série

\sum v_n

converge (typiquement série géométrique de raison

|q|<1

avec

|q|<1

, ou série exponentielle

\sum \frac{a^n}{n!}

La série exponentielle $\sum_{n\ge 0} \frac{1}{n!}$ converge et vaut $e^1=e$ .

Étape 3 —

Par comparaison de séries à termes positifs, j'en déduis que

\sum |u_n|

converge, puis je conclus par le théorème de convergence absolue que

\sum u_n

converge.

Donc $\sum \frac{(-1)^n}{n!}$ converge absolument, donc converge ; sa somme est $\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n!}=e^{-1}=\frac{1}{e}$ .

La série converge absolument et $\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n!}=\frac{1}{e}$ .

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Comment utiliser la convergence absolue pour conclure à la convergence d'une série ?

En prouvant la convergence de ∑∣un∣\sum |u_n|∑∣un​∣ (série à termes positifs) pour conclure à la convergence de ∑un\sum u_n∑un​

Pour comprendre, fais des exercices !

En prouvant la convergence de $\sum |u_n|$ (série à termes positifs) pour conclure à la convergence de $\sum u_n$