Comment montrer qu'une équation $f(x) = k$ admet une (unique) solution sur un intervalle ?

En appliquant le théorème des valeurs intermédiaires (continuité sur un segment + changement de signe)

Prouver l'existence d'au moins une solution à $f(x)=k$ sur un intervalle par le théorème des valeurs intermédiaires.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Montrer que l'équation $x^5+x-3=0$ admet une solution dans $[1,2]$ .

L'objectif

Prouver l'existence d'au moins une solution à $f(x)=k$ sur un intervalle par le théorème des valeurs intermédiaires.

Le principe

Si $f$ est continue sur $[a,b]$ et si $k$ est compris entre $f(a)$ et $f(b)$ , alors il existe $c\in[a,b]$ tel que $f(c)=k$ .

La méthode

1
Je vérifie que $f$ est continue sur un segment $[a,b]$ adapté (ou sur l'intervalle où l'on cherche la solution).
Comment montrer qu'une fonction est continue en un point ou sur un intervalle ?Voir
2
Je calcule $f(a)$ et $f(b)$ et je m'assure que $k$ est strictement compris entre $f(a)$ et $f(b)$ (changement de signe pour $k=0$ ).
3
J'applique le TVI : il existe $c\in ]a,b[$ tel que $f(c)=k$ , ce qui prouve l'existence d'une solution.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Montrer que l'équation $x^5+x-3=0$ admet une solution dans $[1,2]$ .

Étape 1 —

Je vérifie que

f

est continue sur un segment

[a,b]

adapté (ou sur l'intervalle où l'on cherche la solution).

Je pose $f(x)=x^5+x-3$ . $f$ est polynomiale donc continue sur $\mathbb{R}$ , et en particulier sur $[1,2]$ .

Étape 2 —

Je calcule

f(a)

et

f(b)

et je m'assure que

k

est strictement compris entre

f(a)

et

f(b)

(changement de signe pour

k=0

).

$f(1)=1+1-3=-1<0$ et $f(2)=32+2-3=31>0$ ; donc $k=0$ est compris entre $f(1)$ et $f(2)$ .

Étape 3 —

J'applique le TVI : il existe

c\in ]a,b[

tel que

f(c)=k

, ce qui prouve l'existence d'une solution.

Par le TVI, il existe $c\in ]1,2[$ tel que $f(c)=0$ .

L'équation admet au moins une solution dans $]1,2[$ .

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