Comment détermin… : Reconnaître les irrationnels courants — 2de | MetMat

Comment déterminer si un nombre est rationnel, décimal ou irrationnel ?

Reconnaître les irrationnels courants

Reconnaître un nombre irrationnel en le comparant aux cas classiques connus.

Maîtriser

Reconnaître

Résoudre

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Le nombre $\sqrt{7}$ est-il rationnel ou irrationnel ?

L'objectif

Reconnaître un nombre irrationnel en le comparant aux cas classiques connus.

Le principe

Certains nombres ( $\sqrt{2}$ , $\sqrt{3}$ , $\pi$ , $e$ , etc.) sont irrationnels par nature : aucune fraction $p/q$ d'entiers ne peut les représenter exactement.

La méthode

1
Vérifier si le nombre appartient à la liste des irrationnels classiques : $\sqrt{2}$ , $\sqrt{3}$ , $\sqrt{5}$ , $\sqrt{p}$ pour $p$ premier non carré parfait, $\pi$ , $e$ .
2
Si le nombre est une racine carrée $\sqrt{n}$ , vérifier que $n$ n'est pas un carré parfait (sinon $\sqrt{n}$ est entier, donc rationnel).
3
Conclure : si $n$ n'est pas un carré parfait, alors $\sqrt{n}$ est irrationnel ; sinon, $\sqrt{n}$ est un entier naturel, donc rationnel.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Le nombre $\sqrt{7}$ est-il rationnel ou irrationnel ?

Étape 1 —

Vérifier si le nombre appartient à la liste des irrationnels classiques :

\sqrt{2}

\sqrt{3}

\sqrt{5}

\sqrt{p}

pour

p

premier non carré parfait,

\pi

e

$\sqrt{7}$ est une racine carrée : on vérifie si $7$ est un carré parfait. Les carrés parfaits sont $1, 4, 9, 16, \ldots$ — $7$ n'en est pas un.

Étape 2 —

Si le nombre est une racine carrée

\sqrt{n}

, vérifier que

n

n'est pas un carré parfait (sinon

\sqrt{n}

est entier, donc rationnel).

$7$ est un nombre premier (non carré parfait), donc $\sqrt{7}$ fait partie des irrationnels classiques de la forme $\sqrt{p}$ , $p$ premier.

Étape 3 —

Conclure : si

n

n'est pas un carré parfait, alors

\sqrt{n}

est irrationnel ; sinon,

\sqrt{n}

est un entier naturel, donc rationnel.

Conclusion : $\sqrt{7}$ est irrationnel.

$\sqrt{7}$ est irrationnel.

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