Comment déterminer si un nombre appartient à un intervalle donné ?

En utilisant la condition $|x - a| \leq r$ pour un intervalle centré $[a-r, a+r]$

Tester si un réel appartient à un intervalle centré en calculant sa distance au centre.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Le nombre $x = 4$ appartient-il à $[1, 7]$ ? (Utiliser la méthode de la valeur absolue.)

L'objectif

Tester si un réel appartient à un intervalle centré en calculant sa distance au centre.

Le principe

$x \in [a-r, a+r]$ si et seulement si $|x - a| \leq r$ : on calcule la distance de $x$ au centre $a$ et on compare au rayon $r$ .

La méthode

1
Identifier le centre $a$ et le rayon $r$ de l'intervalle $[a-r, a+r]$ .
2
Calculer $|x - a|$ , la distance entre $x$ et le centre $a$ .
Comment exprimer la distance entre deux nombres réels avec la valeur absolue ?Voir
3
Comparer $|x - a|$ et $r$ : si $|x - a| \leq r$ , alors $x \in [a-r, a+r]$ , sinon $x \notin [a-r, a+r]$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Le nombre $x = 4$ appartient-il à $[1, 7]$ ? (Utiliser la méthode de la valeur absolue.)

Étape 1 —

Identifier le centre

a

et le rayon

r

de l'intervalle

[a-r, a+r]

.

Le centre est $a = \frac{1+7}{2} = 4$ et le rayon est $r = \frac{7-1}{2} = 3$ , donc l'intervalle est $[4-3, 4+3]$ .

Étape 2 —

Calculer

|x - a|

, la distance entre

x

et le centre

a

.

On calcule $|4 - 4| = 0$ .

Étape 3 —

Comparer

|x - a|

et

r

: si

|x - a| \leq r

, alors

x \in [a-r, a+r]

, sinon

x \notin [a-r, a+r]

.

$0 \leq 3$ , donc $x = 4 \in [1, 7]$ .

$4 \in [1, 7]$ .

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Comment déterminer si un nombre appartient à un intervalle donné ?

En utilisant la condition ∣x−a∣≤r|x - a| \leq r∣x−a∣≤r pour un intervalle centré [a−r,a+r][a-r, a+r][a−r,a+r]

Pour comprendre, fais des exercices !

En utilisant la condition $|x - a| \leq r$ pour un intervalle centré $[a-r, a+r]$