Comment trouver l'équation cartésienne d'une droite ( $ax + by + c = 0$ ) ?

En utilisant un point $A(x_0\,;\,y_0)$ et un vecteur directeur $\vec{u}(u\,;\,v)$ : l'équation est $v(x - x_0) - u(y - y_0) = 0$

Établir l'équation cartésienne d'une droite à partir d'un point et d'un vecteur directeur.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Trouver l'équation cartésienne de la droite passant par $A(3\,;\,1)$ avec vecteur directeur $\vec{u}(2\,;\,5)$ .

L'objectif

Établir l'équation cartésienne d'une droite à partir d'un point et d'un vecteur directeur.

Le principe

Un point $M(x\,;\,y)$ est sur la droite si et seulement si $\overrightarrow{AM}$ et $\vec{u}$ sont colinéaires, ce qui donne $v(x - x_0) - u(y - y_0) = 0$ .

La méthode

1
Identifier un point $A(x_0\,;\,y_0)$ de la droite et un vecteur directeur $\vec{u}(u\,;\,v)$ .
Comment déterminer un vecteur directeur d'une droite ?Voir
2
Appliquer la formule $v(x - x_0) - u(y - y_0) = 0$ et développer pour obtenir la forme $ax + by + c = 0$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Trouver l'équation cartésienne de la droite passant par $A(3\,;\,1)$ avec vecteur directeur $\vec{u}(2\,;\,5)$ .

Étape 1 —

Identifier un point

A(x_0\,;\,y_0)

de la droite et un vecteur directeur

\vec{u}(u\,;\,v)

.

On a $A(3\,;\,1)$ , $u = 2$ , $v = 5$ .

Étape 2 —

Appliquer la formule

v(x - x_0) - u(y - y_0) = 0

et développer pour obtenir la forme

ax + by + c = 0

.

$5(x - 3) - 2(y - 1) = 0 \Rightarrow 5x - 15 - 2y + 2 = 0 \Rightarrow 5x - 2y - 13 = 0$ .

$5x - 2y - 13 = 0$

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Comment trouver l'équation cartésienne d'une droite (ax+by+c=0ax + by + c = 0ax+by+c=0) ?

En utilisant un point A(x0 ; y0)A(x_0\,;\,y_0)A(x0​;y0​) et un vecteur directeur u⃗(u ; v)\vec{u}(u\,;\,v)u(u;v) : l'équation est v(x−x0)−u(y−y0)=0v(x - x_0) - u(y - y_0) = 0v(x−x0​)−u(y−y0​)=0

Pour comprendre, fais des exercices !

Comment trouver l'équation cartésienne d'une droite ( $ax + by + c = 0$ ) ?

En utilisant un point $A(x_0\,;\,y_0)$ et un vecteur directeur $\vec{u}(u\,;\,v)$ : l'équation est $v(x - x_0) - u(y - y_0) = 0$