Comment étudier les variations… : En calculant f'(x), étudiant son signe et… — 1re spé maths | MetMat

Comment étudier les variations d’une fonction à l’aide de sa dérivée ?

En calculant $f'(x)$ , étudiant son signe et dressant le tableau de variations

Déterminer les intervalles de croissance et de décroissance d’une fonction dérivable.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Étudier les variations de $f(x) = x^3 - 3x + 1$ sur $\mathbb{R}$ .

L'objectif

Déterminer les intervalles de croissance et de décroissance d’une fonction dérivable.

Le principe

Si $f'(x) \geq 0$ sur un intervalle, $f$ est croissante ; si $f'(x) \leq 0$ , $f$ est décroissante.

La méthode

1
Je calcule $f'(x)$ en appliquant les règles de dérivation.
2
Je résous $f'(x) = 0$ pour trouver les valeurs où la dérivée s’annule.
3
J’étudie le signe de $f'(x)$ sur chaque intervalle délimité par ces valeurs.
4
Je dresse le tableau de variations en indiquant les flèches montantes ( $f' > 0$ ) et descendantes ( $f' < 0$ ), et je calcule les valeurs de $f$ aux bornes.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Étudier les variations de $f(x) = x^3 - 3x + 1$ sur $\mathbb{R}$ .

Étape 1 —

Je calcule

f'(x)

en appliquant les règles de dérivation.

$f'(x) = 3x^2 - 3$ .

Étape 2 —

Je résous

f'(x) = 0

pour trouver les valeurs où la dérivée s’annule.

$f'(x) = 0 \iff 3x^2 - 3 = 0 \iff x^2 = 1 \iff x = -1$ ou $x = 1$ .

Étape 3 —

J’étudie le signe de

f'(x)

sur chaque intervalle délimité par ces valeurs.

$f'(x) = 3(x-1)(x+1)$ . On a $f'(x) > 0$ sur $]-\infty\,;-1[$ et $]1\,;+\infty[$ , $f'(x) < 0$ sur $]-1\,;1[$ .

Étape 4 —

Je dresse le tableau de variations en indiquant les flèches montantes (

f' > 0

) et descendantes (

f' < 0

), et je calcule les valeurs de

f

aux bornes.

$f(-1) = 3$ , $f(1) = -1$ . Donc $f$ est croissante sur $]-\infty\,;-1]$ , décroissante sur $[-1\,;1]$ , croissante sur $[1\,;+\infty[$ .

$f$ est croissante sur $]-\infty\,;-1]$ , décroissante sur $[-1\,;1]$ , croissante sur $[1\,;+\infty[$ .

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Comment étudier les variations d’une fonction à l’aide de sa dérivée ?

En calculant f′(x)f'(x)f′(x), étudiant son signe et dressant le tableau de variations

Pour comprendre, fais des exercices !

En calculant $f'(x)$ , étudiant son signe et dressant le tableau de variations