Comment étudier les variations d’une fonction à l’aide de sa dérivée ?

En dressant un tableau de variations complet

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Dresser le tableau de variations de $f(x) = x^3 - 12x + 2$ sur $\mathbb{R}$ .

La méthode

1
Je place en première ligne les valeurs de $x$ où $f'$ s’annule ou n’est pas définie, encadrées par les bornes du domaine.
2
Je remplis la ligne du signe de $f'(x)$ ( $+$ , $0$ , $-$ ) sur chaque intervalle.
3
Je dessine les flèches de variation de $f$ : montante si $f' > 0$ , descendante si $f' < 0$ .
4
Je calcule et place les valeurs de $f$ aux bornes, aux zéros de $f'$ , et j’identifie les extremums locaux.

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Dresser le tableau de variations de $f(x) = x^3 - 12x + 2$ sur $\mathbb{R}$ .

1

$f'(x) = 3x^2 - 12 = 3(x^2 - 4) = 3(x-2)(x+2)$ . Les zéros sont $x = -2$ et $x = 2$ . Bornes : $-\infty$ et $+\infty$ .

2

$f'(x) > 0$ sur $]-\infty\,;-2[$ , $f'(x) < 0$ sur $]-2\,;2[$ , $f'(x) > 0$ sur $]2\,;+\infty[$ .

3

Flèche montante, puis descendante, puis montante.

4

$f(-2) = -8 + 24 + 2 = 18$ (maximum local), $f(2) = 8 - 24 + 2 = -14$ (minimum local).

$f$ admet un maximum local $18$ en $x = -2$ et un minimum local $-14$ en $x = 2$ .

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