En dressant un tableau de variations complet

Présenter de manière synthétique les variations d’une fonction dans un tableau normalisé.

L'objectif

Présenter de manière synthétique les variations d’une fonction dans un tableau normalisé.

Le principe

Le tableau de variations regroupe le signe de $f'$ et les flèches de variation de $f$ , avec les valeurs remarquables aux bornes et aux extremums.

La méthode

1
Je place en première ligne les valeurs de $x$ où $f'$ s’annule ou n’est pas définie, encadrées par les bornes du domaine.
2
Je remplis la ligne du signe de $f'(x)$ ( $+$ , $0$ , $-$ ) sur chaque intervalle.
3
Je dessine les flèches de variation de $f$ : montante si $f' > 0$ , descendante si $f' < 0$ .
4
Je calcule et place les valeurs de $f$ aux bornes, aux zéros de $f'$ , et j’identifie les extremums locaux.

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Exercice d'exemple

Dresser le tableau de variations de $f(x) = x^3 - 12x + 2$ sur $\mathbb{R}$ .

Étape 1 —

Je place en première ligne les valeurs de

x

où

f'

s’annule ou n’est pas définie, encadrées par les bornes du domaine.

$f'(x) = 3x^2 - 12 = 3(x^2 - 4) = 3(x-2)(x+2)$ . Les zéros sont $x = -2$ et $x = 2$ . Bornes : $-\infty$ et $+\infty$ .

Étape 2 —

Je remplis la ligne du signe de

f'(x)

(

+

0

-

) sur chaque intervalle.

$f'(x) > 0$ sur $]-\infty\,;-2[$ , $f'(x) < 0$ sur $]-2\,;2[$ , $f'(x) > 0$ sur $]2\,;+\infty[$ .

Étape 3 —

Je dessine les flèches de variation de

f

: montante si

f' > 0

, descendante si

f' < 0

Flèche montante, puis descendante, puis montante.

Étape 4 —

Je calcule et place les valeurs de

f

aux bornes, aux zéros de

f'

, et j’identifie les extremums locaux.

$f(-2) = -8 + 24 + 2 = 18$ (maximum local), $f(2) = 8 - 24 + 2 = -14$ (minimum local).

$f$ admet un maximum local $18$ en $x = -2$ et un minimum local $-14$ en $x = 2$ .

Application guidée

Dresser le tableau de variations de $f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 4$ sur $\mathbb{R}$ .

Application autonome 1

Dresser le tableau de variations de $f(x) = -x^2 + 6x - 8$ sur $[0\,;5]$ .

Application autonome 2

Dresser le tableau de variations de $f(x) = \dfrac{1}{3}x^3 - x^2 - 3x + 4$ sur $\mathbb{R}$ .

Application autonome 3

Dresser le tableau de variations de $f(x) = x^4 - 8x^2 + 10$ sur $\mathbb{R}$ .

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