Comment calculer la variance et l'écart type d'une variable aléatoire ?

En appliquant $V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$ (König-Huygens)

Calculer la variance $V(X)$ plus efficacement grâce à la formule de König-Huygens.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

$X$ a pour loi : $P(X=2)=0{,}3$ , $P(X=4)=0{,}5$ , $P(X=6)=0{,}2$ . Calculer $V(X)$ par König-Huygens.

L'objectif

Calculer la variance $V(X)$ plus efficacement grâce à la formule de König-Huygens.

Le principe

La formule de König-Huygens donne $V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$ où $E(X^2) = \sum x_i^2 \cdot P(X = x_i)$ . Elle évite de calculer les écarts $(x_i - E(X))$ et est souvent plus rapide.

La méthode

1
Calculer $E(X) = \sum x_i \cdot P(X = x_i)$ .
Comment calculer l'espérance d'une variable aléatoire ?Voir
2
Calculer $E(X^2) = \sum x_i^2 \cdot P(X = x_i)$ .
3
Appliquer $V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$ et, si demandé, $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

$X$ a pour loi : $P(X=2)=0{,}3$ , $P(X=4)=0{,}5$ , $P(X=6)=0{,}2$ . Calculer $V(X)$ par König-Huygens.

Étape 1 —

Calculer

E(X) = \sum x_i \cdot P(X = x_i)

.

$E(X) = 2 \times 0{,}3 + 4 \times 0{,}5 + 6 \times 0{,}2 = 0{,}6 + 2 + 1{,}2 = 3{,}8$ .

Étape 2 —

Calculer

E(X^2) = \sum x_i^2 \cdot P(X = x_i)

.

$E(X^2) = 4 \times 0{,}3 + 16 \times 0{,}5 + 36 \times 0{,}2 = 1{,}2 + 8 + 7{,}2 = 16{,}4$ .

Étape 3 —

Appliquer

V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2

et, si demandé,

\sigma(X) = \sqrt{V(X)}

.

$V(X) = 16{,}4 - 3{,}8^2 = 16{,}4 - 14{,}44 = 1{,}96$ .

$V(X) = 1{,}96$ et $\sigma(X) = 1{,}4$ .

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Comment interpréter l'écart type d'une variable aléatoire ?

Comment calculer la variance et l'écart type d'une variable aléatoire ?

En appliquant V(X)=E(X2)−[E(X)]2V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2V(X)=E(X2)−[E(X)]2 (König-Huygens)

Pour comprendre, fais des exercices !

En appliquant $V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$ (König-Huygens)