En appliquant $V(X) = \sum (x_i - E(X))^2 \cdot P(X = x_i)$ puis $\sigma = \sqrt{V(X)}$

Calculer la variance $V(X)$ et l'écart type $\sigma(X)$ d'une variable aléatoire à partir de la définition.

L'objectif

Calculer la variance $V(X)$ et l'écart type $\sigma(X)$ d'une variable aléatoire à partir de la définition.

Le principe

La variance mesure la dispersion de $X$ autour de $E(X)$ : $V(X) = \sum_{i=1}^{k} (x_i - E(X))^2 \cdot P(X = x_i)$ . L'écart type est $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$ et s'exprime dans la même unité que $X$ .

La méthode

1
Calculer (ou rappeler) $E(X)$ .
2
Pour chaque valeur $x_i$ , calculer l'écart au carré $(x_i - E(X))^2$ puis le produit $(x_i - E(X))^2 \times P(X = x_i)$ .
3
Sommer tous ces produits pour obtenir $V(X)$ .
4
Calculer $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

$X$ a pour loi : $P(X=1)=0{,}5$ , $P(X=3)=0{,}3$ , $P(X=5)=0{,}2$ . Calculer $V(X)$ et $\sigma(X)$ .

Étape 1 —

Calculer (ou rappeler)

E(X)

$E(X) = 1 \times 0{,}5 + 3 \times 0{,}3 + 5 \times 0{,}2 = 0{,}5 + 0{,}9 + 1 = 2{,}4$ .

Étape 2 —

Pour chaque valeur

x_i

, calculer l'écart au carré

(x_i - E(X))^2

puis le produit

(x_i - E(X))^2 \times P(X = x_i)

$(1-2{,}4)^2 \times 0{,}5 = 1{,}96 \times 0{,}5 = 0{,}98$ ; $(3-2{,}4)^2 \times 0{,}3 = 0{,}36 \times 0{,}3 = 0{,}108$ ; $(5-2{,}4)^2 \times 0{,}2 = 6{,}76 \times 0{,}2 = 1{,}352$ .

Étape 3 —

Sommer tous ces produits pour obtenir

V(X)

$V(X) = 0{,}98 + 0{,}108 + 1{,}352 = 2{,}44$ .

Étape 4 —

Calculer

\sigma(X) = \sqrt{V(X)}

$\sigma(X) = \sqrt{2{,}44} \approx 1{,}56$ .

$V(X) = 2{,}44$ et $\sigma(X) \approx 1{,}56$ .

Application guidée

On lance un dé équilibré. $X$ est le résultat. Calculer $V(X)$ et $\sigma(X)$ .

Application autonome 1

$X$ a pour loi : $P(X=0)=0{,}4$ , $P(X=10)=0{,}6$ . Calculer $V(X)$ et $\sigma(X)$ .

Application autonome 2

Une boulangerie vend entre $20$ et $22$ baguettes par heure. Soit $X$ le nombre de baguettes vendues en une heure, avec $P(X=20)=0{,}3$ , $P(X=21)=0{,}5$ et $P(X=22)=0{,}2$ . Calculer $V(X)$ et $\sigma(X)$ .

Application autonome 3

$X$ prend les valeurs $-2$ , $1$ et $4$ avec $P(X=-2) = \dfrac{1}{3}$ , $P(X=1) = \dfrac{1}{3}$ , $P(X=4) = \dfrac{1}{3}$ . Calculer $V(X)$ et $\sigma(X)$ .

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En appliquant V(X)=∑(xi−E(X))2⋅P(X=xi)V(X) = \sum (x_i - E(X))^2 \cdot P(X = x_i)V(X)=∑(xi​−E(X))2⋅P(X=xi​) puis σ=V(X)\sigma = \sqrt{V(X)}σ=V(X)​

Pour comprendre, fais des exercices !

En appliquant $V(X) = \sum (x_i - E(X))^2 \cdot P(X = x_i)$ puis $\sigma = \sqrt{V(X)}$