En identifiant une relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$

Déterminer si une suite est définie par récurrence et écrire la relation $u_{n+1} = f(u_n)$ .

L'objectif

Déterminer si une suite est définie par récurrence et écrire la relation $u_{n+1} = f(u_n)$ .

Le principe

On exprime chaque terme en fonction du précédent : on cherche une fonction $f$ telle que $u_{n+1} = f(u_n)$ .

La méthode

1
Calculer les différences ou les rapports entre termes consécutifs pour repérer une régularité.
2
Formuler la relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$ et vérifier sur les termes connus.
3
Écrire la définition complète : le terme initial $u_0$ (ou $u_1$ ) et la relation de récurrence.

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Exercice d'exemple

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 2$ , $u_1 = 5$ , $u_2 = 11$ , $u_3 = 23$ . Trouver une relation de récurrence.

Étape 1 —

Calculer les différences ou les rapports entre termes consécutifs pour repérer une régularité.

Rapports : $\dfrac{u_1}{u_0} = 2{,}5$ , pas constant. Différences : $u_1 - u_0 = 3$ , $u_2 - u_1 = 6$ , $u_3 - u_2 = 12$ . On remarque que $u_{n+1} - u_n$ double à chaque fois. On teste $u_{n+1} = 2u_n + 1$ : $2 \times 2 + 1 = 5$ ✓, $2 \times 5 + 1 = 11$ ✓.

Étape 2 —

Formuler la relation de récurrence

u_{n+1} = f(u_n)

et vérifier sur les termes connus.

Relation de récurrence : $u_{n+1} = 2u_n + 1$ . Vérification : $u_3 = 2 \times 11 + 1 = 23$ ✓.

Étape 3 —

Écrire la définition complète : le terme initial

u_0

(ou

u_1

) et la relation de récurrence.

La suite est définie par $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = 2u_n + 1$ pour tout $n \geq 0$ .

$u_0 = 2$ et $u_{n+1} = 2u_n + 1$

Application guidée

On considère la suite $(v_n)$ définie par $v_0 = 1$ , $v_1 = 3$ , $v_2 = 7$ , $v_3 = 15$ . Trouver une relation de récurrence.

Application autonome 1

On considère la suite $(w_n)$ définie par $w_1 = 100$ , $w_2 = 52$ , $w_3 = 28$ , $w_4 = 16$ . Trouver une relation de récurrence.

Application autonome 2

On considère la suite $(a_n)$ définie par $a_0 = 0$ , $a_1 = 1$ , $a_2 = 4$ , $a_3 = 13$ , $a_4 = 40$ . Trouver une relation de récurrence.

Application autonome 3

On considère la suite $(b_n)$ définie par $b_0 = 20$ , $b_1 = 14$ , $b_2 = 11$ , $b_3 = 9{,}5$ . Trouver une relation de récurrence.

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En identifiant une relation de récurrence un+1=f(un)u_{n+1} = f(u_n)un+1​=f(un​)

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En identifiant une relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$