Comment déterminer le mode de génération d'une suite ?

En identifiant une relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 2$ , $u_1 = 5$ , $u_2 = 11$ , $u_3 = 23$ . Trouver une relation de récurrence.

La méthode

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Calculer les différences ou les rapports entre termes consécutifs pour repérer une régularité.
2
Formuler la relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$ et vérifier sur les termes connus.
3
Écrire la définition complète : le terme initial $u_0$ (ou $u_1$ ) et la relation de récurrence.

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 2$ , $u_1 = 5$ , $u_2 = 11$ , $u_3 = 23$ . Trouver une relation de récurrence.

1

Rapports : $\dfrac{u_1}{u_0} = 2{,}5$ , pas constant. Différences : $u_1 - u_0 = 3$ , $u_2 - u_1 = 6$ , $u_3 - u_2 = 12$ . On remarque que $u_{n+1} - u_n$ double à chaque fois. On teste $u_{n+1} = 2u_n + 1$ : $2 \times 2 + 1 = 5$ ✓, $2 \times 5 + 1 = 11$ ✓.

2

Relation de récurrence : $u_{n+1} = 2u_n + 1$ . Vérification : $u_3 = 2 \times 11 + 1 = 23$ ✓.

3

La suite est définie par $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = 2u_n + 1$ pour tout $n \geq 0$ .

$u_0 = 2$ et $u_{n+1} = 2u_n + 1$

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En identifiant une relation de récurrence un+1=f(un)u_{n+1} = f(u_n)un+1​=f(un​)

Pour comprendre, passons aux exercices.

En identifiant une relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$