Comment déterminer le mode de génération d'une suite ?

En identifiant une formule explicite $u_n = f(n)$

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 1$ , $u_1 = 4$ , $u_2 = 9$ , $u_3 = 16$ . Déterminer une formule explicite pour $u_n$ .

La méthode

1
Calculer les premiers termes de la suite et observer comment chaque terme dépend de son rang $n$ .
2
Formuler une conjecture pour $u_n$ en fonction de $n$ , puis vérifier sur les termes connus.
3
Écrire la formule explicite $u_n = f(n)$ et préciser l'ensemble des rangs (par exemple $n \geq 0$ ).

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 1$ , $u_1 = 4$ , $u_2 = 9$ , $u_3 = 16$ . Déterminer une formule explicite pour $u_n$ .

1

On observe : $u_0 = 1 = 1^2$ , $u_1 = 4 = 2^2$ , $u_2 = 9 = 3^2$ , $u_3 = 16 = 4^2$ . Chaque terme semble être le carré de $n+1$ .

2

Conjecture : $u_n = (n+1)^2$ . Vérification : $u_0 = (0+1)^2 = 1$ ✓, $u_3 = (3+1)^2 = 16$ ✓.

3

La formule explicite est $u_n = (n+1)^2$ pour tout $n \geq 0$ .

$u_n = (n+1)^2$ pour tout $n \geq 0$

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Pour comprendre, passons aux exercices.

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