Comment transformer un produit… : En introduisant le milieu de [AB] pour… — 1re spé maths | MetMat

Comment transformer un produit scalaire $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB}$ ?

En introduisant le milieu de $[AB]$ pour développer $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB}$

Transformer $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB}$ pour résoudre un problème de lieu géométrique.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soient $A$ et $B$ deux points tels que $AB = 6$ . Déterminer l'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0$ .

L'objectif

Transformer $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB}$ pour résoudre un problème de lieu géométrique.

Le principe

En posant $I$ milieu de $[AB]$ : $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = MI^2 - \frac{AB^2}{4}$ (via la relation de Chasles et le développement).

La méthode

1
Je pose $I$ le milieu de $[AB]$ et j'écris $\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA}$ et $\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB}$ .
2
Je développe : $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = (\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA}) \cdot (\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB}) = MI^2 + \overrightarrow{MI} \cdot (\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB}) + \overrightarrow{IA} \cdot \overrightarrow{IB}$ . Comme $I$ est milieu, $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}$ .
3
J'obtiens $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = MI^2 - \frac{AB^2}{4}$ et j'utilise cette expression pour conclure (lieu, signe, etc.).

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Soient $A$ et $B$ deux points tels que $AB = 6$ . Déterminer l'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0$ .

Étape 1 —

Je pose

I

le milieu de

[AB]

et j'écris

\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA}

\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB}

Soit $I$ le milieu de $[AB]$ . On écrit $\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA}$ et $\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB}$ .

Étape 2 —

Je développe :

\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = (\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA}) \cdot (\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB}) = MI^2 + \overrightarrow{MI} \cdot (\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB}) + \overrightarrow{IA} \cdot \overrightarrow{IB}

. Comme

I

est milieu,

\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}

$\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = MI^2 - \frac{AB^2}{4} = MI^2 - 9$ .

Étape 3 —

J'obtiens

\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = MI^2 - \frac{AB^2}{4}

et j'utilise cette expression pour conclure (lieu, signe, etc.).

$MI^2 - 9 = 0 \iff MI = 3$ . L'ensemble cherché est le cercle de centre $I$ et de rayon $3$ .

L'ensemble est le cercle de centre $I$ (milieu de $[AB]$ ) et de rayon $3$ .

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Pour comprendre, fais des exercices !

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