Comment transformer un produit… : En introduisant le milieu de [AB] pour… — 1re spé maths | MetMat

Comment transformer un produit scalaire $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB}$ ?

En introduisant le milieu de $[AB]$ pour développer $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB}$

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soient $A$ et $B$ deux points tels que $AB = 6$ . Déterminer l'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0$ .

La méthode

1
Je pose $I$ le milieu de $[AB]$ et j'écris $\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA}$ et $\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB}$ .
2
Je développe : $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = (\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA}) \cdot (\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB}) = MI^2 + \overrightarrow{MI} \cdot (\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB}) + \overrightarrow{IA} \cdot \overrightarrow{IB}$ . Comme $I$ est milieu, $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}$ .
3
J'obtiens $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = MI^2 - \frac{AB^2}{4}$ et j'utilise cette expression pour conclure (lieu, signe, etc.).

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Soient $A$ et $B$ deux points tels que $AB = 6$ . Déterminer l'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0$ .

Soit $I$ le milieu de $[AB]$ . On écrit $\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA}$ et $\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB}$ .

$\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = MI^2 - \frac{AB^2}{4} = MI^2 - 9$ .

$MI^2 - 9 = 0 \iff MI = 3$ . L'ensemble cherché est le cercle de centre $I$ et de rayon $3$ .

L'ensemble est le cercle de centre $I$ (milieu de $[AB]$ ) et de rayon $3$ .

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Comment transformer un produit scalaire MA→⋅MB→\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB}MA⋅MB ?

En introduisant le milieu de [AB][AB][AB] pour développer MA→⋅MB→\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB}MA⋅MB

Pour comprendre, passons aux exercices.

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En introduisant le milieu de $[AB]$ pour développer $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB}$