En projetant un vecteur sur l'autre et en multipliant par la norme

L'objectif

Calculer $\vec{u} \cdot \vec{v}$ en utilisant la projection orthogonale.

Le principe

Le produit scalaire $\vec{u} \cdot \vec{v}$ est égal à $\pm \|\vec{u}\| \times \|\vec{v'}\|$ où $\vec{v'}$ est le projeté orthogonal de $\vec{v}$ sur la droite dirigée par $\vec{u}$ .

La méthode

1
Je repère les deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ et la figure géométrique associée.
2
Je projette orthogonalement l'extrémité du deuxième vecteur sur la droite support du premier pour obtenir le projeté $H$ .
3
Je calcule $\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{u} \cdot \vec{v'} = \pm \|\vec{u}\| \times OH$ selon le sens ( $+$ si même sens, $-$ sinon).

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Application guidée 1

Soit $ABC$ un triangle rectangle en $A$ tel que $AB = 4$ et $AC = 3$ . Calculer $\vec{AB} \cdot \vec{BC}$ .

Application guidée 2

Soit $ABCD$ un rectangle tel que $AB = 6$ et $AD = 4$ . Calculer $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$ .

Application autonome 1

Soit $ABC$ un triangle isocèle en $A$ avec $AB = AC = 5$ et $BC = 6$ . Calculer $\vec{BA} \cdot \vec{BC}$ par projection.

Application autonome 2

Soit $ABC$ un triangle tel que $AB = 5$ , $AC = 4$ et $\widehat{BAC} = 60°$ . Soit $H$ le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$ . Calculer $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$ .

Application autonome 3

Soit $ABCD$ un carré de côté $6$ . Calculer $\vec{AB} \cdot \vec{AD}$ par projection.

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