En projetant un vecteur sur l'autre et en multipliant par la norme

Calculer $\vec{u} \cdot \vec{v}$ en utilisant la projection orthogonale.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $ABC$ un triangle rectangle en $A$ tel que $AB = 4$ et $AC = 3$ . Calculer $\vec{AB} \cdot \vec{BC}$ .

L'objectif

Calculer $\vec{u} \cdot \vec{v}$ en utilisant la projection orthogonale.

Le principe

Le produit scalaire $\vec{u} \cdot \vec{v}$ est égal à $\pm \|\vec{u}\| \times \|\vec{v'}\|$ où $\vec{v'}$ est le projeté orthogonal de $\vec{v}$ sur la droite dirigée par $\vec{u}$ .

La méthode

1
Je repère les deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ et la figure géométrique associée.
2
Je projette orthogonalement l'extrémité du deuxième vecteur sur la droite support du premier pour obtenir le projeté $H$ .
3
Je calcule $\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{u} \cdot \vec{v'} = \pm \|\vec{u}\| \times OH$ selon le sens ( $+$ si même sens, $-$ sinon).

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit $ABC$ un triangle rectangle en $A$ tel que $AB = 4$ et $AC = 3$ . Calculer $\vec{AB} \cdot \vec{BC}$ .

Étape 1 —

Je repère les deux vecteurs

\vec{u}

\vec{v}

et la figure géométrique associée.

Les deux vecteurs sont $\vec{AB}$ et $\vec{BC}$ , dans le triangle rectangle en $A$ .

Étape 2 —

Je projette orthogonalement l'extrémité du deuxième vecteur sur la droite support du premier pour obtenir le projeté

H

Je projette $C$ sur la droite $(AB)$ . Comme l'angle en $A$ est droit, le projeté de $C$ sur $(AB)$ est $A$ . Donc $\vec{BC}$ se projette en $\vec{BA}$ sur $(AB)$ .

Étape 3 —

Je calcule

\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{u} \cdot \vec{v'} = \pm \|\vec{u}\| \times OH

selon le sens (

+

si même sens,

-

sinon).

$\vec{AB} \cdot \vec{BC} = \vec{AB} \cdot \vec{BA} = -\|\vec{AB}\|^2 = -4^2 = -16$ .

$\vec{AB} \cdot \vec{BC} = -16$

Application guidée

Soit $ABCD$ un rectangle tel que $AB = 6$ et $AD = 4$ . Calculer $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$ .

Application autonome 1

Soit $ABC$ un triangle isocèle en $A$ avec $AB = AC = 5$ et $BC = 6$ . Calculer $\vec{BA} \cdot \vec{BC}$ par projection.

Application autonome 2

Soit $ABC$ un triangle tel que $AB = 5$ , $AC = 4$ et $\widehat{BAC} = 60°$ . Soit $H$ le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$ . Calculer $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$ .

Application autonome 3

Soit $ABCD$ un carré de côté $6$ . Calculer $\vec{AB} \cdot \vec{AD}$ par projection.

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