Comment calculer une norme à l'aide du produit scalaire ?

En utilisant $\|\vec{u}\| = \sqrt{\vec{u} \cdot \vec{u}}$

Calculer la norme d'un vecteur grâce au produit scalaire.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Calculer la norme de $\vec{u}(3\,;-4)$ .

L'objectif

Calculer la norme d'un vecteur grâce au produit scalaire.

Le principe

$\|\vec{u}\|^2 = \vec{u} \cdot \vec{u}$ , donc $\|\vec{u}\| = \sqrt{\vec{u} \cdot \vec{u}}$ . En coordonnées : $\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2}$ .

La méthode

1
Je relève les coordonnées du vecteur $\vec{u}(x\,;y)$ ou j'exprime $\vec{u} \cdot \vec{u}$ à l'aide des données géométriques.
2
Je calcule $\vec{u} \cdot \vec{u} = x^2 + y^2$ (ou $\|\vec{u}\|^2$ par développement).
3
J'en déduis $\|\vec{u}\| = \sqrt{\vec{u} \cdot \vec{u}}$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Calculer la norme de $\vec{u}(3\,;-4)$ .

Étape 1 —

Je relève les coordonnées du vecteur

\vec{u}(x\,;y)

ou j'exprime

\vec{u} \cdot \vec{u}

à l'aide des données géométriques.

$\vec{u}(3\,;-4)$ .

Étape 2 —

Je calcule

\vec{u} \cdot \vec{u} = x^2 + y^2

(ou

\|\vec{u}\|^2

par développement).

$\vec{u} \cdot \vec{u} = 3^2 + (-4)^2 = 9 + 16 = 25$ .

Étape 3 —

J'en déduis

\|\vec{u}\| = \sqrt{\vec{u} \cdot \vec{u}}

.

$\|\vec{u}\| = \sqrt{25} = 5$ .

$\|\vec{u}\| = 5$

Les applications suivantes et la correction guidée sont réservées aux membres Premium

La méthode et sa première application corrigée restent en accès libre. Le Premium débloque les applications suivantes, l'aide IA et le suivi de ta maîtrise.

Comment appliquer la formule d'Al-Kashi ?

Comment calculer une norme à l'aide du produit scalaire ?

En utilisant ∥u⃗∥=u⃗⋅u⃗\|\vec{u}\| = \sqrt{\vec{u} \cdot \vec{u}}∥u∥=u⋅u​

Pour comprendre, fais des exercices !

En utilisant $\|\vec{u}\| = \sqrt{\vec{u} \cdot \vec{u}}$