En appliquant la formule $\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy'$ dans un repère orthonormé

Calculer $\vec{u} \cdot \vec{v}$ lorsque les coordonnées des vecteurs sont connues dans un repère orthonormé.

L'objectif

Calculer $\vec{u} \cdot \vec{v}$ lorsque les coordonnées des vecteurs sont connues dans un repère orthonormé.

Le principe

Dans un repère orthonormé, si $\vec{u}(x\,;y)$ et $\vec{v}(x'\,;y')$ , alors $\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy'$ .

La méthode

1
Je vérifie que le repère est orthonormé et je relève les coordonnées $\vec{u}(x\,;y)$ et $\vec{v}(x'\,;y')$ .
2
J'applique la formule $\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy'$ et je calcule.

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Exercice d'exemple

Dans un repère orthonormé, on donne $\vec{u}(3\,;-2)$ et $\vec{v}(1\,;4)$ . Calculer $\vec{u} \cdot \vec{v}$ .

Étape 1 —

Je vérifie que le repère est orthonormé et je relève les coordonnées

\vec{u}(x\,;y)

\vec{v}(x'\,;y')

Le repère est orthonormé. $\vec{u}(3\,;-2)$ et $\vec{v}(1\,;4)$ .

Étape 2 —

J'applique la formule

\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy'

et je calcule.

$\vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \times 1 + (-2) \times 4 = 3 - 8 = -5$ .

$\vec{u} \cdot \vec{v} = -5$

Application guidée

Dans un repère orthonormé, on donne $A(1\,;2)$ , $B(4\,;6)$ et $C(-1\,;5)$ . Calculer $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$ .

Application autonome 1

Dans un repère orthonormé, on donne $\vec{u}(-5\,;0)$ et $\vec{v}(0\,;3)$ . Calculer $\vec{u} \cdot \vec{v}$ .

Application autonome 2

Dans un repère orthonormé, soient $A(2\,;-1)$ , $B(5\,;3)$ et $C(0\,;7)$ . Calculer $\vec{BA} \cdot \vec{BC}$ .

Application autonome 3

Dans un repère orthonormé, on donne $\vec{u}(7\,;-3)$ et $\vec{v}(-2\,;-5)$ . Calculer $\vec{u} \cdot \vec{v}$ .

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