Comment modéliser une succession… : En utilisant un tableau à double entrée — 1re spé maths | MetMat

Comment modéliser une succession de deux épreuves indépendantes ?

En utilisant un tableau à double entrée

Organiser et exploiter un tableau de probabilités pour calculer des probabilités conjointes, marginales et conditionnelles.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

On lance indépendamment une pièce (pile $P$ ou face $F$ ) et un dé (pair $Pa$ ou impair $I$ ). Construire le tableau des probabilités conjointes. Quelle est $P(P \cap Pa)$ ?

L'objectif

Organiser et exploiter un tableau de probabilités pour calculer des probabilités conjointes, marginales et conditionnelles.

Le principe

Dans un tableau à double entrée, les lignes représentent les issues d'une épreuve, les colonnes celles de l'autre. Chaque case contient la probabilité conjointe $P(A_i \cap B_j) = P(A_i) \times P(B_j)$ (par indépendance). Les marges donnent les probabilités marginales.

La méthode

1
Je construis le tableau : en lignes les issues de la première épreuve, en colonnes celles de la seconde, plus une ligne et une colonne « Total ».
2
Je remplis les marges (dernière ligne et dernière colonne) avec les probabilités de chaque épreuve.
3
Je remplis chaque case intérieure : $P(A_i \cap B_j) = P(A_i) \times P(B_j)$ par indépendance.
4
Je lis les probabilités demandées directement dans le tableau ou en combinant les cases.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

On lance indépendamment une pièce (pile $P$ ou face $F$ ) et un dé (pair $Pa$ ou impair $I$ ). Construire le tableau des probabilités conjointes. Quelle est $P(P \cap Pa)$ ?

Étape 1 —

Je construis le tableau : en lignes les issues de la première épreuve, en colonnes celles de la seconde, plus une ligne et une colonne « Total ».

Tableau : lignes = $\{P, F\}$ , colonnes = $\{Pa, I\}$ , plus les totaux.

Étape 2 —

Je remplis les marges (dernière ligne et dernière colonne) avec les probabilités de chaque épreuve.

Marges : $P(P) = P(F) = \dfrac{1}{2}$ ; $P(Pa) = P(I) = \dfrac{1}{2}$ .

Étape 3 —

Je remplis chaque case intérieure :

P(A_i \cap B_j) = P(A_i) \times P(B_j)

par indépendance.

$P(P \cap Pa) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}$ . De même pour les trois autres cases.

Étape 4 —

Je lis les probabilités demandées directement dans le tableau ou en combinant les cases.

Le tableau confirme : chaque case vaut $\dfrac{1}{4}$ et la somme fait bien $1$ .

$P(P \cap Pa) = \dfrac{1}{4}$ .

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