En construisant un arbre pondéré

Représenter une expérience à deux épreuves indépendantes et calculer la probabilité de chaque issue.

L'objectif

Représenter une expérience à deux épreuves indépendantes et calculer la probabilité de chaque issue.

Le principe

On dessine un arbre à deux niveaux. Les branches du premier niveau représentent les issues de la première épreuve, celles du second niveau les issues de la seconde. Par indépendance, les probabilités du second niveau ne dépendent pas du résultat du premier. La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités le long des branches.

La méthode

1
Je dessine les branches du premier niveau avec les issues et probabilités de la première épreuve.
2
À chaque extrémité, j'ajoute les branches du second niveau avec les mêmes issues et probabilités (identiques à chaque nœud par indépendance).
3
Je calcule la probabilité de chaque chemin (feuille) en multipliant les probabilités le long des branches.
4
Pour un événement donné, j'additionne les probabilités des chemins correspondants.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

On lance deux fois de suite un dé équilibré à $6$ faces. Quelle est la probabilité d'obtenir exactement un $6$ ?

Étape 1 —

Je dessine les branches du premier niveau avec les issues et probabilités de la première épreuve.

Premier lancer : $P(6) = \dfrac{1}{6}$ , $P(\overline{6}) = \dfrac{5}{6}$ .

Étape 2 —

À chaque extrémité, j'ajoute les branches du second niveau avec les mêmes issues et probabilités (identiques à chaque nœud par indépendance).

Second lancer (indépendant) : mêmes probabilités à chaque nœud.

Étape 3 —

Je calcule la probabilité de chaque chemin (feuille) en multipliant les probabilités le long des branches.

Chemins avec exactement un 6 : $(6, \overline{6})$ et $(\overline{6}, 6)$ . $P(6, \overline{6}) = \dfrac{1}{6} \times \dfrac{5}{6} = \dfrac{5}{36}$ et $P(\overline{6}, 6) = \dfrac{5}{6} \times \dfrac{1}{6} = \dfrac{5}{36}$ .

Étape 4 —

Pour un événement donné, j'additionne les probabilités des chemins correspondants.

$P(\text{exactement un 6}) = \dfrac{5}{36} + \dfrac{5}{36} = \dfrac{10}{36} = \dfrac{5}{18}$ .

$P(\text{exactement un 6}) = \dfrac{5}{18}$ .

Application guidée

On tire successivement et avec remise deux boules dans une urne contenant $3$ boules rouges et $2$ boules vertes. Quelle est la probabilité d'obtenir deux boules de la même couleur ?

Application autonome 1

Un candidat répond à deux questions indépendantes d'un quiz. Il a une probabilité de $0{,}6$ de répondre correctement à chaque question. Construire l'arbre et calculer la probabilité qu'il réponde correctement à au moins une question.

Application autonome 2

On tire successivement sans remise deux cartes dans un jeu de $52$ cartes. Quelle est la probabilité de tirer deux cœurs ?

Application autonome 3

Une roue truquée tombe sur rouge avec probabilité $0{,}7$ et sur noir avec probabilité $0{,}3$ . On lance la roue deux fois, indépendamment. Quelle est la probabilité d'obtenir exactement une fois rouge ?

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