Comment modéliser une succession… : En construisant un arbre pondéré — 1re spé maths | MetMat

Comment modéliser une succession de deux épreuves indépendantes ?

En construisant un arbre pondéré

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

On lance deux fois de suite un dé équilibré à $6$ faces. Quelle est la probabilité d'obtenir exactement un $6$ ?

La méthode

1
Je dessine les branches du premier niveau avec les issues et probabilités de la première épreuve.
2
À chaque extrémité, j'ajoute les branches du second niveau avec les mêmes issues et probabilités (identiques à chaque nœud par indépendance).
3
Je calcule la probabilité de chaque chemin (feuille) en multipliant les probabilités le long des branches.
4
Pour un événement donné, j'additionne les probabilités des chemins correspondants.

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

On lance deux fois de suite un dé équilibré à $6$ faces. Quelle est la probabilité d'obtenir exactement un $6$ ?

Premier lancer : $P(6) = \dfrac{1}{6}$ , $P(\overline{6}) = \dfrac{5}{6}$ .

Second lancer (indépendant) : mêmes probabilités à chaque nœud.

Chemins avec exactement un 6 : $(6, \overline{6})$ et $(\overline{6}, 6)$ . $P(6, \overline{6}) = \dfrac{1}{6} \times \dfrac{5}{6} = \dfrac{5}{36}$ et $P(\overline{6}, 6) = \dfrac{5}{6} \times \dfrac{1}{6} = \dfrac{5}{36}$ .

$P(\text{exactement un 6}) = \dfrac{5}{36} + \dfrac{5}{36} = \dfrac{10}{36} = \dfrac{5}{18}$ .

$P(\text{exactement un 6}) = \dfrac{5}{18}$ .

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