En utilisant un tableau à double entrée

Organiser et exploiter un tableau de probabilités pour calculer des probabilités conjointes, marginales et conditionnelles.

L'objectif

Organiser et exploiter un tableau de probabilités pour calculer des probabilités conjointes, marginales et conditionnelles.

Le principe

Dans un tableau à double entrée, les lignes représentent les issues d'une épreuve, les colonnes celles de l'autre. Chaque case contient la probabilité conjointe $P(A_i \cap B_j) = P(A_i) \times P(B_j)$ (par indépendance). Les marges donnent les probabilités marginales.

La méthode

1
Je construis le tableau : en lignes les issues de la première épreuve, en colonnes celles de la seconde, plus une ligne et une colonne « Total ».
2
Je remplis les marges (dernière ligne et dernière colonne) avec les probabilités de chaque épreuve.
3
Je remplis chaque case intérieure : $P(A_i \cap B_j) = P(A_i) \times P(B_j)$ par indépendance.
4
Je lis les probabilités demandées directement dans le tableau ou en combinant les cases.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

On lance indépendamment une pièce (pile $P$ ou face $F$ ) et un dé (pair $Pa$ ou impair $I$ ). Construire le tableau des probabilités conjointes. Quelle est $P(P \cap Pa)$ ?

Étape 1 —

Je construis le tableau : en lignes les issues de la première épreuve, en colonnes celles de la seconde, plus une ligne et une colonne « Total ».

Tableau : lignes = $\{P, F\}$ , colonnes = $\{Pa, I\}$ , plus les totaux.

Étape 2 —

Je remplis les marges (dernière ligne et dernière colonne) avec les probabilités de chaque épreuve.

Marges : $P(P) = P(F) = \dfrac{1}{2}$ ; $P(Pa) = P(I) = \dfrac{1}{2}$ .

Étape 3 —

Je remplis chaque case intérieure :

P(A_i \cap B_j) = P(A_i) \times P(B_j)

par indépendance.

$P(P \cap Pa) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}$ . De même pour les trois autres cases.

Étape 4 —

Je lis les probabilités demandées directement dans le tableau ou en combinant les cases.

Le tableau confirme : chaque case vaut $\dfrac{1}{4}$ et la somme fait bien $1$ .

$P(P \cap Pa) = \dfrac{1}{4}$ .

Application guidée

Deux contrôles indépendants sont effectués sur un produit. Le premier le classe « conforme » ( $C_1$ ) avec probabilité $0{,}9$ , le second ( $C_2$ ) avec probabilité $0{,}85$ . Construire le tableau et calculer la probabilité que le produit passe les deux contrôles.

Application autonome 1

Un élève passe deux épreuves indépendantes. Il réussit la première avec probabilité $\dfrac{2}{3}$ et la seconde avec probabilité $\dfrac{3}{4}$ . Quelle est la probabilité qu'il échoue aux deux ?

Application autonome 2

Dans un test, un premier QCM est réussi avec probabilité $0{,}6$ , indépendamment du second qui est réussi avec probabilité $0{,}5$ . Construire le tableau des probabilités conjointes et calculer la probabilité qu'au moins un des deux soit réussi.

Application autonome 3

Deux détecteurs indépendants identifient une intrusion avec probabilités respectives $0{,}9$ et $0{,}95$ . Construire le tableau et calculer la probabilité qu'au moins un détecteur donne l'alerte.

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