Comment construire et utiliser un tableau croisé d'effectifs ?

En vérifiant l'indépendance de deux événements

Vérifier si deux événements $A$ et $B$ sont indépendants.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

On lance deux dés équilibrés. Soit $A$ : « le premier dé donne $6$ » et $B$ : « la somme est $7$ ». Les événements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ?

L'objectif

Vérifier si deux événements $A$ et $B$ sont indépendants.

Le principe

$A$ et $B$ sont indépendants si et seulement si $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ , ou de manière équivalente $P_A(B) = P(B)$ .

La méthode

1
Je calcule $P(A)$ , $P(B)$ et $P(A \cap B)$ à partir des données.
2
Je calcule le produit $P(A) \times P(B)$ .
3
Je compare $P(A \cap B)$ et $P(A) \times P(B)$ : s'ils sont égaux, $A$ et $B$ sont indépendants ; sinon, ils ne le sont pas.
Comment déterminer si deux événements sont indépendants ?Voir

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

On lance deux dés équilibrés. Soit $A$ : « le premier dé donne $6$ » et $B$ : « la somme est $7$ ». Les événements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ?

Étape 1 —

Je calcule

P(A)

,

P(B)

et

P(A \cap B)

à partir des données.

$P(A) = \dfrac{1}{6}$ . $P(B) = \dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}$ (les couples donnant $7$ sont $(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)$ ). $A \cap B$ : le premier dé donne $6$ et la somme vaut $7$ , donc le second donne $1$ : $P(A \cap B) = \dfrac{1}{36}$ .

Étape 2 —

Je calcule le produit

P(A) \times P(B)

.

$P(A) \times P(B) = \dfrac{1}{6} \times \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{36}$ .

Étape 3 —

Je compare

P(A \cap B)

et

P(A) \times P(B)

: s'ils sont égaux,

A

et

B

sont indépendants ; sinon, ils ne le sont pas.

$P(A \cap B) = \dfrac{1}{36} = P(A) \times P(B)$ : $A$ et $B$ sont indépendants.

$A$ et $B$ sont indépendants.

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Comment modéliser une succession de deux épreuves indépendantes ?