Comment construire et utiliser un… : En calculant avec la formule des… — 1re spé maths | MetMat

Comment construire et utiliser un tableau croisé d'effectifs ?

En calculant avec la formule des probabilités totales

Calculer $P(B)$ en utilisant la formule des probabilités totales.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Une usine a deux ateliers. L'atelier $A_1$ produit $70\,\%$ des pièces avec $2\,\%$ de défauts. L'atelier $A_2$ produit $30\,\%$ des pièces avec $5\,\%$ de défauts. Calculer la probabilité qu'une pièce prise au hasard soit défectueuse ( $D$ ).

L'objectif

Calculer $P(B)$ en utilisant la formule des probabilités totales.

Le principe

Si $A_1, A_2, \ldots, A_n$ forment une partition de l'univers, alors $P(B) = \sum_{i=1}^{n} P(A_i) \times P_{A_i}(B)$ . On décompose le calcul selon les différents « chemins » menant à $B$ .

La méthode

1
J'identifie une partition de l'univers $(A_1, A_2, \ldots, A_n)$ adaptée au problème (souvent $A$ et $\overline{A}$ ).
2
Je relève ou je calcule $P(A_i)$ et $P_{A_i}(B)$ pour chaque élément de la partition.
3
J'applique la formule : $P(B) = P(A_1) \times P_{A_1}(B) + P(A_2) \times P_{A_2}(B) + \cdots$
4
Je calcule et je simplifie le résultat.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Étape 1 —

J'identifie une partition de l'univers

(A_1, A_2, \ldots, A_n)

adaptée au problème (souvent

A

\overline{A}

La partition est $(A_1, A_2)$ avec $P(A_1) = 0{,}7$ et $P(A_2) = 0{,}3$ .

Étape 2 —

Je relève ou je calcule

P(A_i)

P_{A_i}(B)

pour chaque élément de la partition.

$P_{A_1}(D) = 0{,}02$ et $P_{A_2}(D) = 0{,}05$ .

Étape 3 —

J'applique la formule :

P(B) = P(A_1) \times P_{A_1}(B) + P(A_2) \times P_{A_2}(B) + \cdots

$P(D) = P(A_1) \times P_{A_1}(D) + P(A_2) \times P_{A_2}(D) = 0{,}7 \times 0{,}02 + 0{,}3 \times 0{,}05$ .

Étape 4 —

Je calcule et je simplifie le résultat.

$P(D) = 0{,}014 + 0{,}015 = 0{,}029$ .

$P(D) = 0{,}029$

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