Comment construire et utiliser un… : En organisant les effectifs et en… — 1re spé maths | MetMat

Comment construire et utiliser un tableau croisé d'effectifs ?

En organisant les effectifs et en calculant les proportions

Construire un tableau croisé d'effectifs complet et en déduire des probabilités.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Dans un groupe de $300$ étudiants, $180$ sont en lettres ( $L$ ), $120$ en sciences ( $S$ ). Parmi les littéraires, $90$ ont un job étudiant ( $J$ ). Au total, $130$ étudiants ont un job. Construire le tableau et calculer $P(J)$ et $P_S(J)$ .

L'objectif

Construire un tableau croisé d'effectifs complet et en déduire des probabilités.

Le principe

On organise les données dans un tableau à double entrée avec les marges (totaux). Chaque case divisée par l'effectif total donne une probabilité, et chaque case divisée par le total de sa ligne ou colonne donne une probabilité conditionnelle.

La méthode

1
Je place les données de l'énoncé dans les cases correspondantes du tableau à double entrée.
2
Je complète les cases manquantes en utilisant les totaux : effectif d'une case $=$ total ligne $-$ somme des autres cases de la ligne (idem pour les colonnes).
3
Je vérifie que les totaux des lignes et des colonnes sont cohérents et que le total général est correct.
4
Je calcule les probabilités demandées : $P(A) = \dfrac{\text{effectif de } A}{\text{total général}}$ ou $P_A(B) = \dfrac{\text{effectif de } A \cap B}{\text{effectif de } A}$ .
Comment calculer une probabilité conditionnelle ?Voir

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Étape 1 —

Je place les données de l'énoncé dans les cases correspondantes du tableau à double entrée.

On place : effectif de $L$ = $180$ , effectif de $S$ = $120$ , effectif de $L \cap J$ = $90$ , total de $J$ = $130$ .

Étape 2 —

Je complète les cases manquantes en utilisant les totaux : effectif d'une case

=

total ligne

-

somme des autres cases de la ligne (idem pour les colonnes).

$S \cap J = 130 - 90 = 40$ . $L \cap \overline{J} = 180 - 90 = 90$ . $S \cap \overline{J} = 120 - 40 = 80$ . Total $\overline{J} = 90 + 80 = 170$ .

Étape 3 —

Je vérifie que les totaux des lignes et des colonnes sont cohérents et que le total général est correct.

Vérification : $130 + 170 = 300$ ✓ et $180 + 120 = 300$ ✓.

Étape 4 —

Je calcule les probabilités demandées :

P(A) = \dfrac{\text{effectif de } A}{\text{total général}}

P_A(B) = \dfrac{\text{effectif de } A \cap B}{\text{effectif de } A}

$P(J) = \dfrac{130}{300} = \dfrac{13}{30}$ et $P_S(J) = \dfrac{40}{120} = \dfrac{1}{3}$ .

$P(J) = \dfrac{13}{30}$ et $P_S(J) = \dfrac{1}{3}$

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