Comment modéliser une succession… : En construisant un arbre pondéré — 1re spé maths | MetMat

Comment modéliser une succession de deux épreuves indépendantes ?

En construisant un arbre pondéré

Représenter une expérience à deux épreuves indépendantes et calculer la probabilité de chaque issue.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

On lance deux fois de suite un dé équilibré à $6$ faces. Quelle est la probabilité d'obtenir exactement un $6$ ?

L'objectif

Représenter une expérience à deux épreuves indépendantes et calculer la probabilité de chaque issue.

Le principe

On dessine un arbre à deux niveaux. Les branches du premier niveau représentent les issues de la première épreuve, celles du second niveau les issues de la seconde. Par indépendance, les probabilités du second niveau ne dépendent pas du résultat du premier. La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités le long des branches.

La méthode

1
Je dessine les branches du premier niveau avec les issues et probabilités de la première épreuve.
2
À chaque extrémité, j'ajoute les branches du second niveau avec les mêmes issues et probabilités (identiques à chaque nœud par indépendance).
3
Je calcule la probabilité de chaque chemin (feuille) en multipliant les probabilités le long des branches.
4
Pour un événement donné, j'additionne les probabilités des chemins correspondants.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

On lance deux fois de suite un dé équilibré à $6$ faces. Quelle est la probabilité d'obtenir exactement un $6$ ?

Étape 1 —

Je dessine les branches du premier niveau avec les issues et probabilités de la première épreuve.

Premier lancer : $P(6) = \dfrac{1}{6}$ , $P(\overline{6}) = \dfrac{5}{6}$ .

Étape 2 —

À chaque extrémité, j'ajoute les branches du second niveau avec les mêmes issues et probabilités (identiques à chaque nœud par indépendance).

Second lancer (indépendant) : mêmes probabilités à chaque nœud.

Étape 3 —

Je calcule la probabilité de chaque chemin (feuille) en multipliant les probabilités le long des branches.

Chemins avec exactement un 6 : $(6, \overline{6})$ et $(\overline{6}, 6)$ . $P(6, \overline{6}) = \dfrac{1}{6} \times \dfrac{5}{6} = \dfrac{5}{36}$ et $P(\overline{6}, 6) = \dfrac{5}{6} \times \dfrac{1}{6} = \dfrac{5}{36}$ .

Étape 4 —

Pour un événement donné, j'additionne les probabilités des chemins correspondants.

$P(\text{exactement un 6}) = \dfrac{5}{36} + \dfrac{5}{36} = \dfrac{10}{36} = \dfrac{5}{18}$ .

$P(\text{exactement un 6}) = \dfrac{5}{18}$ .

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