Comment utiliser un repère pour… : En étudiant la position relative d'une… — 1re spé maths | MetMat

Comment utiliser un repère pour étudier une configuration ?

En étudiant la position relative d'une droite et d'un cercle

Déterminer la position relative d'une droite par rapport à un cercle.

Maîtriser

Reconnaître

Résoudre

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Déterminer la position de la droite $d : 3x + 4y - 10 = 0$ par rapport au cercle de centre $\Omega(2 ; 1)$ et de rayon $3$ .

L'objectif

Déterminer la position relative d'une droite par rapport à un cercle.

Le principe

On compare la distance du centre du cercle à la droite avec le rayon : si $d(\Omega, d) < R$ sécante, si $d(\Omega, d) = R$ tangente, si $d(\Omega, d) > R$ extérieure.

La méthode

1
J'identifie le centre $\Omega(a ; b)$ et le rayon $R$ du cercle, et l'équation $d : \alpha x + \beta y + \gamma = 0$ .
2
Je calcule $d(\Omega, d) = \dfrac{|\alpha a + \beta b + \gamma|}{\sqrt{\alpha^2 + \beta^2}}$ .
Comment déterminer le projeté orthogonal d'un point sur une droite ?Voir
3
Je compare $d(\Omega, d)$ à $R$ et je conclus : sécante ( $d < R$ ), tangente ( $d = R$ ) ou extérieure ( $d > R$ ).

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Déterminer la position de la droite $d : 3x + 4y - 10 = 0$ par rapport au cercle de centre $\Omega(2 ; 1)$ et de rayon $3$ .

Étape 1 —

J'identifie le centre

\Omega(a ; b)

et le rayon

R

du cercle, et l'équation

d : \alpha x + \beta y + \gamma = 0

$\Omega(2 ; 1)$ , $R = 3$ , $d : 3x + 4y - 10 = 0$ .

Étape 2 —

Je calcule

d(\Omega, d) = \dfrac{|\alpha a + \beta b + \gamma|}{\sqrt{\alpha^2 + \beta^2}}

$d(\Omega, d) = \dfrac{|3 \times 2 + 4 \times 1 - 10|}{\sqrt{9 + 16}} = \dfrac{|6 + 4 - 10|}{5} = \dfrac{0}{5} = 0$ .

Étape 3 —

Je compare

d(\Omega, d)

R

et je conclus : sécante (

d < R

), tangente (

d = R

) ou extérieure (

d > R

$d(\Omega, d) = 0 < R = 3$ : la droite passe par le centre, elle est sécante au cercle.

La droite est sécante au cercle (elle passe par le centre)

Les applications suivantes et la correction guidée sont réservées aux membres Premium

La méthode et sa première application corrigée restent en accès libre. Le Premium débloque les applications suivantes, l'aide IA et le suivi de ta maîtrise.