En déterminant un ensemble de points équidistants

Approfondissement — Déterminer l'ensemble des points équidistants d'un point (foyer) et d'une droite (directrice).

Hors programme — Cette méthode va au-delà du B.O. officiel. Proposée pour aller plus loin.

L'objectif

Approfondissement — Déterminer l'ensemble des points équidistants d'un point (foyer) et d'une droite (directrice).

Le principe

L'ensemble des points $M(x ; y)$ tels que $d(M, F) = d(M, \mathcal{D})$ est une parabole dont on détermine l'équation par calcul de distances.

La méthode

1
Je pose $M(x ; y)$ , le foyer $F$ et la directrice $\mathcal{D}$ , puis j'exprime $d(M, F)$ et $d(M, \mathcal{D})$ .
2
J'écris l'égalité $d(M, F) = d(M, \mathcal{D})$ et j'élève au carré.
3
Je développe, simplifie et j'obtiens l'équation de la parabole.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Déterminer l'ensemble des points $M(x ; y)$ équidistants du point $F(0 ; 1)$ et de la droite $\mathcal{D} : y = -1$ (axe des abscisses décalé).

Étape 1 —

Je pose

M(x ; y)

, le foyer

F

et la directrice

\mathcal{D}

, puis j'exprime

d(M, F)

d(M, \mathcal{D})

$d(M, F) = \sqrt{x^2 + (y - 1)^2}$ et $d(M, \mathcal{D}) = |y + 1|$ .

Étape 2 —

J'écris l'égalité

d(M, F) = d(M, \mathcal{D})

et j'élève au carré.

$x^2 + (y - 1)^2 = (y + 1)^2$ .

Étape 3 —

Je développe, simplifie et j'obtiens l'équation de la parabole.

$x^2 + y^2 - 2y + 1 = y^2 + 2y + 1$ , soit $x^2 = 4y$ , donc $y = \dfrac{x^2}{4}$ . C'est une parabole.

$y = \dfrac{x^2}{4}$

Application guidée

Déterminer l'ensemble des points $M(x ; y)$ équidistants du point $F(0 ; 2)$ et de la droite $\mathcal{D} : y = -2$ .

Application autonome 1

Déterminer l'ensemble des points $M(x ; y)$ équidistants du point $F\left(0 ; \dfrac{1}{2}\right)$ et de la droite $\mathcal{D} : y = -\dfrac{1}{2}$ .

Application autonome 2

Déterminer l'ensemble des points $M(x\,;y)$ équidistants du point $F(0\,;3)$ et de la droite $\mathcal{D} : y = -3$ .

Application autonome 3

Déterminer l'ensemble des points $M(x\,;y)$ équidistants du point $F(2\,;0)$ et de la droite $\mathcal{D} : x = -2$ .

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