Comment utiliser un repère pour… : En cherchant l'intersection d'une droite… — 1re spé maths | MetMat

Comment utiliser un repère pour étudier une configuration ?

En cherchant l'intersection d'une droite et d'un cercle

Trouver les points d'intersection d'une droite et d'un cercle.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Déterminer les points d'intersection de la droite $d : y = x + 1$ et du cercle $\mathcal{C} : x^2 + y^2 = 5$ .

L'objectif

Trouver les points d'intersection d'une droite et d'un cercle.

Le principe

On substitue l'expression de $y$ (ou $x$ ) tirée de l'équation de la droite dans l'équation du cercle pour obtenir une équation du second degré.

La méthode

1
J'exprime $y$ en fonction de $x$ (ou inversement) à partir de l'équation de la droite.
2
Je substitue dans l'équation du cercle et je développe pour obtenir une équation du second degré.
3
Je calcule le discriminant $\Delta$ : si $\Delta > 0$ , deux points d'intersection ; si $\Delta = 0$ , tangence ; si $\Delta < 0$ , aucune intersection.
4
Je résous l'équation et je calcule les coordonnées des points d'intersection.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Déterminer les points d'intersection de la droite $d : y = x + 1$ et du cercle $\mathcal{C} : x^2 + y^2 = 5$ .

Étape 1 —

J'exprime

y

en fonction de

x

(ou inversement) à partir de l'équation de la droite.

De la droite : $y = x + 1$ .

Étape 2 —

Je substitue dans l'équation du cercle et je développe pour obtenir une équation du second degré.

On substitue : $x^2 + (x + 1)^2 = 5$ , soit $x^2 + x^2 + 2x + 1 = 5$ , donc $2x^2 + 2x - 4 = 0$ , soit $x^2 + x - 2 = 0$ .

Étape 3 —

Je calcule le discriminant

\Delta

: si

\Delta > 0

, deux points d'intersection ; si

\Delta = 0

, tangence ; si

\Delta < 0

, aucune intersection.

$\Delta = 1 + 8 = 9 > 0$ : deux points d'intersection.

Étape 4 —

Je résous l'équation et je calcule les coordonnées des points d'intersection.

$x_1 = \dfrac{-1 - 3}{2} = -2$ , $y_1 = -1$ . $x_2 = \dfrac{-1 + 3}{2} = 1$ , $y_2 = 2$ . Les points sont $(-2 ; -1)$ et $(1 ; 2)$ .

$(-2 ; -1)$ et $(1 ; 2)$

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