Comment utiliser un repère pour… : En déterminant un ensemble de points… — 1re spé maths | MetMat

Comment utiliser un repère pour étudier une configuration ?

En déterminant un ensemble de points équidistants

Approfondissement — Déterminer l'ensemble des points équidistants d'un point (foyer) et d'une droite (directrice).

Maîtriser

Reconnaître

Résoudre

Hors programme — Cette méthode va au-delà du B.O. officiel. Proposée pour aller plus loin.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Déterminer l'ensemble des points $M(x ; y)$ équidistants du point $F(0 ; 1)$ et de la droite $\mathcal{D} : y = -1$ (axe des abscisses décalé).

L'objectif

Approfondissement — Déterminer l'ensemble des points équidistants d'un point (foyer) et d'une droite (directrice).

Le principe

L'ensemble des points $M(x ; y)$ tels que $d(M, F) = d(M, \mathcal{D})$ est une parabole dont on détermine l'équation par calcul de distances.

La méthode

1
Je pose $M(x ; y)$ , le foyer $F$ et la directrice $\mathcal{D}$ , puis j'exprime $d(M, F)$ et $d(M, \mathcal{D})$ .
2
J'écris l'égalité $d(M, F) = d(M, \mathcal{D})$ et j'élève au carré.
3
Je développe, simplifie et j'obtiens l'équation de la parabole.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Déterminer l'ensemble des points $M(x ; y)$ équidistants du point $F(0 ; 1)$ et de la droite $\mathcal{D} : y = -1$ (axe des abscisses décalé).

Étape 1 —

Je pose

M(x ; y)

, le foyer

F

et la directrice

\mathcal{D}

, puis j'exprime

d(M, F)

d(M, \mathcal{D})

$d(M, F) = \sqrt{x^2 + (y - 1)^2}$ et $d(M, \mathcal{D}) = |y + 1|$ .

Étape 2 —

J'écris l'égalité

d(M, F) = d(M, \mathcal{D})

et j'élève au carré.

$x^2 + (y - 1)^2 = (y + 1)^2$ .

Étape 3 —

Je développe, simplifie et j'obtiens l'équation de la parabole.

$x^2 + y^2 - 2y + 1 = y^2 + 2y + 1$ , soit $x^2 = 4y$ , donc $y = \dfrac{x^2}{4}$ . C'est une parabole.

$y = \dfrac{x^2}{4}$

Les applications suivantes et la correction guidée sont réservées aux membres Premium

La méthode et sa première application corrigée restent en accès libre. Le Premium débloque les applications suivantes, l'aide IA et le suivi de ta maîtrise.