En appliquant $(u+v)' = u' + v'$ et $(\lambda u)' = \lambda u'$

Calculer la dérivée d'une somme ou combinaison linéaire de fonctions.

L'objectif

Calculer la dérivée d'une somme ou combinaison linéaire de fonctions.

Le principe

La dérivation est linéaire : $(u + v)' = u' + v'$ et $(\lambda u)' = \lambda u'$ pour tout réel $\lambda$ .

La méthode

1
J'identifie les fonctions $u$ et $v$ (et les éventuels coefficients multiplicatifs $\lambda$ ) dans l'expression.
2
Je dérive chaque fonction séparément en utilisant les dérivées de référence.
3
Je reconstitue la dérivée en appliquant $(u + v)' = u' + v'$ et $(\lambda u)' = \lambda u'$ , puis je simplifie.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Calculer la dérivée de $f(x) = 3x^2 + 5x$ .

Étape 1 —

J'identifie les fonctions

u

v

(et les éventuels coefficients multiplicatifs

\lambda

) dans l'expression.

On identifie $u(x) = x^2$ avec $\lambda = 3$ et $v(x) = x$ avec $\mu = 5$ .

Étape 2 —

Je dérive chaque fonction séparément en utilisant les dérivées de référence.

On dérive : $u'(x) = 2x$ et $v'(x) = 1$ .

Étape 3 —

Je reconstitue la dérivée en appliquant

(u + v)' = u' + v'

(\lambda u)' = \lambda u'

, puis je simplifie.

On reconstitue : $f'(x) = 3 \times 2x + 5 \times 1 = 6x + 5$ .

$f'(x) = 6x + 5$

Application guidée

Calculer la dérivée de $f(x) = x^3 - 4x + 7$ .

Application autonome 1

Calculer la dérivée de $f(x) = \frac{1}{2}x^4 - 3x^2 + x$ .

Application autonome 2

Calculer la dérivée de $f(x) = 2\sqrt{x} + \frac{3}{x}$ .

Application autonome 3

Calculer la dérivée de $f(x) = -x^5 + 4x^3 - 7x + 11$ sur $\mathbb{R}$ .

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