En calculant la limite du taux de variation

Calculer le nombre dérivé d'une fonction en un point à partir de la définition.

L'objectif

Calculer le nombre dérivé d'une fonction en un point à partir de la définition.

Le principe

Le nombre dérivé $f'(a)$ est la limite du taux de variation $\frac{f(a+h) - f(a)}{h}$ quand $h$ tend vers $0$ .

La méthode

1
J'écris le taux de variation $\frac{f(a+h) - f(a)}{h}$ .
2
Je développe et simplifie $f(a+h) - f(a)$ .
3
Je factorise par $h$ au numérateur et je simplifie avec le $h$ du dénominateur.
4
Je calcule la limite quand $h \to 0$ : le résultat est $f'(a)$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Calculer $f'(2)$ pour $f(x) = x^2$ en utilisant la définition du nombre dérivé.

Étape 1 —

J'écris le taux de variation

\frac{f(a+h) - f(a)}{h}

Le taux de variation est $\frac{f(2+h) - f(2)}{h} = \frac{(2+h)^2 - 4}{h}$ .

Étape 2 —

Je développe et simplifie

f(a+h) - f(a)

$(2+h)^2 - 4 = 4 + 4h + h^2 - 4 = 4h + h^2$ .

Étape 3 —

Je factorise par

h

au numérateur et je simplifie avec le

h

du dénominateur.

$\frac{4h + h^2}{h} = \frac{h(4 + h)}{h} = 4 + h$ .

Étape 4 —

Je calcule la limite quand

h \to 0

: le résultat est

f'(a)

Quand $h \to 0$ : $4 + h \to 4$ , donc $f'(2) = 4$ .

$f'(2) = 4$

Application guidée

Calculer $f'(2)$ pour $f(x) = \sqrt{x}$ en utilisant la définition du nombre dérivé.

Application autonome 1

Calculer $f'(1)$ pour $f(x) = \frac{1}{x}$ en utilisant la définition du nombre dérivé.

Application autonome 2

Calculer $f'(-1)$ pour $f(x) = x^3$ en utilisant la définition du nombre dérivé.

Application autonome 3

Calculer $f'(a)$ pour $f(x) = 2x^2 + 3x$ en un point $a$ quelconque, à partir de la définition.

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