Comment déterminer le nombre dérivé d'une fonction en un point ?

En calculant la limite du taux de variation

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Calculer $f'(2)$ pour $f(x) = x^2$ en utilisant la définition du nombre dérivé.

La méthode

1
J'écris le taux de variation $\frac{f(a+h) - f(a)}{h}$ .
2
Je développe et simplifie $f(a+h) - f(a)$ .
3
Je factorise par $h$ au numérateur et je simplifie avec le $h$ du dénominateur.
4
Je calcule la limite quand $h \to 0$ : le résultat est $f'(a)$ .

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Calculer $f'(2)$ pour $f(x) = x^2$ en utilisant la définition du nombre dérivé.

1

Le taux de variation est $\frac{f(2+h) - f(2)}{h} = \frac{(2+h)^2 - 4}{h}$ .

2

$(2+h)^2 - 4 = 4 + 4h + h^2 - 4 = 4h + h^2$ .

3

$\frac{4h + h^2}{h} = \frac{h(4 + h)}{h} = 4 + h$ .

4

Quand $h \to 0$ : $4 + h \to 4$ , donc $f'(2) = 4$ .

$f'(2) = 4$

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