Comment résoudre une inéquation… : En résolvant d'abord l'équation associée… — Tle spé maths | MetMat

Comment résoudre une inéquation trigonométrique sur $[-\pi,\pi]$ ?

En résolvant d'abord l'équation associée pour trouver les bornes, puis en déterminant les intervalles solutions à partir des variations de $\sin$ ou $\cos$ sur $[-\pi,\pi]$

Déterminer l'ensemble des réels de $[-\pi ; \pi]$ vérifiant une inéquation trigonométrique.

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Résoudre

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Résoudre $\cos x \geq \dfrac{1}{2}$ sur $[-\pi ; \pi]$ .

L'objectif

Déterminer l'ensemble des réels de $[-\pi ; \pi]$ vérifiant une inéquation trigonométrique.

Le principe

On se ramène à l'équation associée pour trouver les valeurs critiques (bornes), puis on lit le signe de la fonction sur chaque sous-intervalle à partir de son tableau de variations sur $[-\pi ; \pi]$ .

La méthode

1
Résoudre l'équation associée $\cos x = a$ (ou $\sin x = a$ ) sur $[-\pi ; \pi]$ pour trouver les valeurs critiques $x_1$ et $x_2$ qui délimitent les intervalles.
Comment résoudre une équation du type $\cos x = a$ ou $\sin x = a$ sur un intervalle ?Voir
2
Rappeler les variations de la fonction sur $[-\pi ; \pi]$ : $\cos$ est croissante sur $[-\pi ; 0]$ et décroissante sur $[0 ; \pi]$ ; $\sin$ est croissante sur $\left[-\dfrac{\pi}{2} ; \dfrac{\pi}{2}\right]$ et décroissante sur $\left[-\pi ; -\dfrac{\pi}{2}\right]$ et $\left[\dfrac{\pi}{2} ; \pi\right]$ .
3
Dresser ou exploiter le tableau de variations pour déterminer sur quels sous-intervalles la fonction est supérieure (ou inférieure) à $a$ .
4
Conclure en exprimant l'ensemble solution sous forme d'union d'intervalles sur $[-\pi ; \pi]$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Résoudre $\cos x \geq \dfrac{1}{2}$ sur $[-\pi ; \pi]$ .

Étape 1 —

Résoudre l'équation associée

\cos x = a

(ou

\sin x = a

) sur

[-\pi ; \pi]

pour trouver les valeurs critiques

x_1

x_2

qui délimitent les intervalles.

Équation associée : $\cos x = \dfrac{1}{2}$ sur $[-\pi ; \pi]$ . Solution principale : $x_0 = \dfrac{\pi}{3}$ . Les solutions sont $x = \dfrac{\pi}{3}$ et $x = -\dfrac{\pi}{3}$ .

Étape 2 —

Rappeler les variations de la fonction sur

[-\pi ; \pi]

\cos

est croissante sur

[-\pi ; 0]

et décroissante sur

[0 ; \pi]

;

\sin

est croissante sur

\left[-\dfrac{\pi}{2} ; \dfrac{\pi}{2}\right]

et décroissante sur

\left[-\pi ; -\dfrac{\pi}{2}\right]

\left[\dfrac{\pi}{2} ; \pi\right]

Sur $[-\pi ; \pi]$ , $\cos$ est croissante sur $[-\pi ; 0]$ et décroissante sur $[0 ; \pi]$ , avec $\cos(-\pi) = -1$ , $\cos(0) = 1$ , $\cos(\pi) = -1$ .

Étape 3 —

Dresser ou exploiter le tableau de variations pour déterminer sur quels sous-intervalles la fonction est supérieure (ou inférieure) à

a

Le cosinus vaut $\dfrac{1}{2}$ en $-\dfrac{\pi}{3}$ et $\dfrac{\pi}{3}$ . Comme $\cos$ est croissante sur $[-\pi ; 0]$ , $\cos x \geq \dfrac{1}{2}$ pour $x \in \left[-\dfrac{\pi}{3} ; 0\right]$ . Comme $\cos$ est décroissante sur $[0 ; \pi]$ , $\cos x \geq \dfrac{1}{2}$ pour $x \in \left[0 ; \dfrac{\pi}{3}\right]$ .

Étape 4 —

Conclure en exprimant l'ensemble solution sous forme d'union d'intervalles sur

[-\pi ; \pi]

En réunissant : $\cos x \geq \dfrac{1}{2}$ sur $\left[-\dfrac{\pi}{3} ; \dfrac{\pi}{3}\right]$ .

$S = \left[-\dfrac{\pi}{3} \,;\, \dfrac{\pi}{3}\right]$

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Comment résoudre une inéquation trigonométrique sur [−π,π][-\pi,\pi][−π,π] ?

En résolvant d'abord l'équation associée pour trouver les bornes, puis en déterminant les intervalles solutions à partir des variations de sin⁡\sinsin ou cos⁡\coscos sur [−π,π][-\pi,\pi][−π,π]

Pour comprendre, fais des exercices !

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En résolvant d'abord l'équation associée pour trouver les bornes, puis en déterminant les intervalles solutions à partir des variations de $\sin$ ou $\cos$ sur $[-\pi,\pi]$