Comment résoudre un problème… : En exprimant les grandeurs géométriques… — Tle spé maths | MetMat

Comment résoudre un problème géométrique impliquant les fonctions trigonométriques ?

En exprimant les grandeurs géométriques (longueurs, angles, aires) en fonction d'une variable, en formant la fonction à étudier, puis en cherchant ses extrema par dérivation

Maximiser ou minimiser une grandeur géométrique (aire, périmètre, longueur) dépendant d'un angle ou d'une variable trigonométrique.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

On considère un triangle $ABC$ inscrit dans un cercle de rayon $R = 1$ . On pose $\theta = \widehat{BOC}$ où $O$ est le centre du cercle, avec $BC$ fixe (disons $BC = \sqrt{2}$ , correspondant à $\theta = \pi/2$ ). On place $A$ sur l'arc $BC$ et on note $\alpha = \widehat{BAC}$ . Exprimer l'aire du triangle en fonction de $\alpha$ et la maximiser.

L'objectif

Maximiser ou minimiser une grandeur géométrique (aire, périmètre, longueur) dépendant d'un angle ou d'une variable trigonométrique.

Le principe

En paramétrant la situation géométrique par un angle $\theta$ , on exprime la grandeur à optimiser comme une fonction de $\theta$ , puis on cherche ses extrema par dérivation sur l'intervalle des valeurs possibles.

La méthode

1
Paramétrer la situation : choisir un angle $\theta$ (ou une longueur) comme variable, préciser son domaine de variation (intervalle des valeurs géométriquement admissibles).
2
Exprimer la grandeur à optimiser en fonction de $\theta$ , en utilisant les relations trigonométriques dans les triangles ou sur le cercle (sinus, cosinus, relation de Chasles, formule de l'aire...).
3
Dériver la fonction obtenue $f(\theta)$ et résoudre $f'(\theta) = 0$ sur le domaine de variation.
4
Dresser le tableau de variations de $f$ pour identifier les extrema (maximum ou minimum) et vérifier qu'ils correspondent bien à une configuration géométrique valide.
5
Conclure en précisant la valeur optimale de la grandeur et la configuration géométrique correspondante.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Étape 1 —

Paramétrer la situation : choisir un angle

\theta

(ou une longueur) comme variable, préciser son domaine de variation (intervalle des valeurs géométriquement admissibles).

Par le théorème de l'angle inscrit, $\widehat{BAC} = \alpha \in \left]0 ; \pi\right[$ (angle inscrit interceptant l'arc $BC$ ne contenant pas $A$ ). On a $BC = 2R\sin\alpha = 2\sin\alpha$ (théorème des sinus).

Étape 2 —

Exprimer la grandeur à optimiser en fonction de

\theta

, en utilisant les relations trigonométriques dans les triangles ou sur le cercle (sinus, cosinus, relation de Chasles, formule de l'aire...).

La hauteur $h$ issue de $A$ dans le triangle $ABC$ : $A$ est sur le cercle de rayon $1$ , donc sa distance à la corde $BC$ est $h = 1 + \cos\alpha$ (si $A$ est du même côté que le centre) ou $h = 1 - \cos\alpha$ selon la configuration. Pour $A$ sur le grand arc, $h = 1 + \cos\alpha$ . Alors $\mathcal{A}(\alpha) = \dfrac{1}{2} \cdot BC \cdot h = \dfrac{1}{2} \cdot 2\sin\alpha \cdot (1 + \cos\alpha) = \sin\alpha(1 + \cos\alpha)$ .

Étape 3 —

Dériver la fonction obtenue

f(\theta)

et résoudre

f'(\theta) = 0

sur le domaine de variation.

$\mathcal{A}'(\alpha) = \cos\alpha(1 + \cos\alpha) + \sin\alpha \cdot (-\sin\alpha) = \cos\alpha + \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = \cos\alpha + \cos(2\alpha)$ . On résout $\mathcal{A}'(\alpha) = 0$ : $\cos\alpha + 2\cos^2\alpha - 1 = 0$ , soit $2\cos^2\alpha + \cos\alpha - 1 = 0$ . En posant $c = \cos\alpha$ : $2c^2 + c - 1 = 0$ , discriminant $= 1 + 8 = 9$ , donc $c = \dfrac{-1 \pm 3}{4}$ . On obtient $c = \dfrac{1}{2}$ ou $c = -1$ . Ainsi $\cos\alpha = \dfrac{1}{2}$ , soit $\alpha = \dfrac{\pi}{3}$ (car $\alpha \in ]0 ; \pi[$ ).

Étape 4 —

Dresser le tableau de variations de

f

pour identifier les extrema (maximum ou minimum) et vérifier qu'ils correspondent bien à une configuration géométrique valide.

Sur $]0 ; \pi[$ , $\mathcal{A}$ est croissante sur $\left]0 ; \dfrac{\pi}{3}\right[$ (tester $\alpha = \dfrac{\pi}{6}$ : $\mathcal{A}'\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right) > 0$ ) et décroissante sur $\left[\dfrac{\pi}{3} ; \pi\right[$ . Le maximum est donc en $\alpha = \dfrac{\pi}{3}$ .

Étape 5 —

Conclure en précisant la valeur optimale de la grandeur et la configuration géométrique correspondante.

$\mathcal{A}\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \sin\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\!\left(1 + \cos\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot \dfrac{3}{2} = \dfrac{3\sqrt{3}}{4}$ . Le triangle d'aire maximale inscrit dans le cercle est le triangle équilatéral.

L'aire maximale est $\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$ , atteinte pour $\alpha = \dfrac{\pi}{3}$ , ce qui correspond au triangle équilatéral inscrit.

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