Comment résoudre une équation du… : En trouvant la solution principale (x_0 ∈… — Tle spé maths | MetMat

Comment résoudre une équation du type $\cos x = a$ ou $\sin x = a$ sur un intervalle ?

En trouvant la solution principale ( $x_0 \in [0,\pi]$ pour $\cos$ , $x_0 \in [-\pi/2,\pi/2]$ pour $\sin$ ), en déduisant les solutions générales par symétrie et périodicité, puis en sélectionnant celles dans l'intervalle demandé

Trouver toutes les solutions d'une équation trigonométrique sur un intervalle donné.

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Reconnaître

Résoudre

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Résoudre $\cos x = \dfrac{1}{2}$ sur $[-\pi ; \pi]$ .

L'objectif

Trouver toutes les solutions d'une équation trigonométrique sur un intervalle donné.

Le principe

Les fonctions $\cos$ et $\sin$ sont $2\pi$ -périodiques et symétriques : $\cos x = \cos x_0$ donne $x = x_0 + 2k\pi$ ou $x = -x_0 + 2k\pi$ ( $k \in \mathbb{Z}$ ), et $\sin x = \sin x_0$ donne $x = x_0 + 2k\pi$ ou $x = \pi - x_0 + 2k\pi$ ( $k \in \mathbb{Z}$ ).

La méthode

1
Vérifier l'existence de solutions : si $|a| > 1$ , l'équation n'a pas de solution. Si $|a| \leq 1$ , continuer.
2
Trouver la solution principale $x_0$ : pour $\cos x = a$ , chercher $x_0 \in [0, \pi]$ tel que $\cos x_0 = a$ (valeur remarquable ou $x_0 = \arccos a$ ) ; pour $\sin x = a$ , chercher $x_0 \in \left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]$ tel que $\sin x_0 = a$ (valeur remarquable ou $x_0 = \arcsin a$ ).
3
Écrire les solutions générales : pour $\cos x = a$ : $x = x_0 + 2k\pi$ ou $x = -x_0 + 2k\pi$ , $k \in \mathbb{Z}$ ; pour $\sin x = a$ : $x = x_0 + 2k\pi$ ou $x = \pi - x_0 + 2k\pi$ , $k \in \mathbb{Z}$ .
4
Sélectionner les solutions dans l'intervalle demandé : substituer des valeurs entières de $k$ dans chaque famille de solutions et ne retenir que celles appartenant à l'intervalle cible.
5
Conclure en listant toutes les solutions retenues.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Résoudre $\cos x = \dfrac{1}{2}$ sur $[-\pi ; \pi]$ .

Étape 1 —

Vérifier l'existence de solutions : si

|a| > 1

, l'équation n'a pas de solution. Si

|a| \leq 1

, continuer.

$\left|\dfrac{1}{2}\right| \leq 1$ , donc l'équation admet des solutions.

Étape 2 —

Trouver la solution principale $x_0$ : pour

\cos x = a

, chercher

x_0 \in [0, \pi]

tel que

\cos x_0 = a

(valeur remarquable ou

x_0 = \arccos a

) ; pour

\sin x = a

, chercher

x_0 \in \left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]

tel que

\sin x_0 = a

(valeur remarquable ou

x_0 = \arcsin a

On reconnaît une valeur remarquable : $\cos \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}$ , donc $x_0 = \dfrac{\pi}{3} \in [0, \pi]$ .

Étape 3 —

Écrire les solutions générales : pour

\cos x = a

x = x_0 + 2k\pi

x = -x_0 + 2k\pi

k \in \mathbb{Z}

; pour

\sin x = a

x = x_0 + 2k\pi

x = \pi - x_0 + 2k\pi

k \in \mathbb{Z}

Les solutions générales sont : $x = \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi$ ou $x = -\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi$ , $k \in \mathbb{Z}$ .

Étape 4 —

Sélectionner les solutions dans l'intervalle demandé : substituer des valeurs entières de

k

dans chaque famille de solutions et ne retenir que celles appartenant à l'intervalle cible.

Sur $[-\pi ; \pi]$ : pour $k = 0$ , $x = \dfrac{\pi}{3}$ et $x = -\dfrac{\pi}{3}$ , qui appartiennent bien à $[-\pi ; \pi]$ . Pour $k = \pm 1$ , les valeurs sortent de l'intervalle.

Étape 5 —

Conclure en listant toutes les solutions retenues.

Les solutions sont $x = \dfrac{\pi}{3}$ et $x = -\dfrac{\pi}{3}$ .

$S = \left\{-\dfrac{\pi}{3} \,;\, \dfrac{\pi}{3}\right\}$

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Pour comprendre, fais des exercices !

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