Comment raisonner par récurrence… : En initialisant au rang de base, en… — Tle spé maths | MetMat

Comment raisonner par récurrence pour établir une propriété ?

En initialisant au rang de base, en posant l'hypothèse de récurrence au rang $n$ , puis en démontrant la propriété au rang $n+1$

Démontrer qu'une propriété $\mathcal{P}(n)$ est vraie pour tout entier $n \geq n_0$ en utilisant la récurrence simple.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Démontrer par récurrence que $2^n \geq n+1$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ .

L'objectif

Démontrer qu'une propriété $\mathcal{P}(n)$ est vraie pour tout entier $n \geq n_0$ en utilisant la récurrence simple.

Le principe

Si $\mathcal{P}(n_0)$ est vraie et que $\mathcal{P}(n) \Rightarrow \mathcal{P}(n+1)$ pour tout $n \geq n_0$ , alors $\mathcal{P}(n)$ est vraie pour tout $n \geq n_0$ .

La méthode

1
Initialisation : vérifier que $\mathcal{P}(n_0)$ est vraie en calculant explicitement les deux membres (ou en vérifiant la propriété directement pour la valeur de base $n_0$ ).
2
Hypothèse de récurrence : supposer que $\mathcal{P}(n)$ est vraie pour un certain entier $n \geq n_0$ (énoncer clairement ce qu'on suppose).
3
Hérédité : démontrer $\mathcal{P}(n+1)$ en partant de l'expression au rang $n+1$ , en faisant apparaître l'expression au rang $n$ (souvent en séparant le dernier terme), puis en substituant l'hypothèse de récurrence.
4
Conclusion : par le principe de récurrence, $\mathcal{P}(n)$ est vraie pour tout $n \geq n_0$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Démontrer par récurrence que $2^n \geq n+1$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ .

Étape 1 —

Initialisation : vérifier que

\mathcal{P}(n_0)

est vraie en calculant explicitement les deux membres (ou en vérifiant la propriété directement pour la valeur de base

n_0

Initialisation ( $n=0$ ) : $2^0 = 1 \geq 0+1 = 1$ . \checkmark

Étape 2 —

Hypothèse de récurrence : supposer que

\mathcal{P}(n)

est vraie pour un certain entier

n \geq n_0

(énoncer clairement ce qu'on suppose).

Hypothèse de récurrence : supposons $2^n \geq n+1$ pour un certain $n \geq 0$ .

Étape 3 —

Hérédité : démontrer

\mathcal{P}(n+1)

en partant de l'expression au rang

n+1

, en faisant apparaître l'expression au rang

n

(souvent en séparant le dernier terme), puis en substituant l'hypothèse de récurrence.

Hérédité : $2^{n+1} = 2 \times 2^n \geq 2(n+1) = 2n+2 \geq n+2 = (n+1)+1$ (car $2n+2 \geq n+2 \iff n \geq 0$ ). Donc $2^{n+1} \geq (n+1)+1$ .

Étape 4 —

Conclusion : par le principe de récurrence,

\mathcal{P}(n)

est vraie pour tout

n \geq n_0

Conclusion : par récurrence, $2^n \geq n+1$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ .

$2^n \geq n+1$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ .

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Comment raisonner par récurrence pour établir une propriété ?

En initialisant au rang de base, en posant l'hypothèse de récurrence au rang nnn, puis en démontrant la propriété au rang n+1n+1n+1

Pour comprendre, fais des exercices !

En initialisant au rang de base, en posant l'hypothèse de récurrence au rang $n$ , puis en démontrant la propriété au rang $n+1$