Comment calculer le nombre de parties (sous-ensembles) d'un ensemble à n éléments ?

En appliquant la formule $2^n$ (correspondance avec les n-uplets de $\{0,1\}$ )

Calculer le nombre total de parties (sous-ensembles) d'un ensemble de $n$ éléments.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Combien de parties l'ensemble $E = \{1, 2, 3\}$ possède-t-il ? Les lister.

L'objectif

Calculer le nombre total de parties (sous-ensembles) d'un ensemble de $n$ éléments.

Le principe

Chaque élément peut être inclus ou non dans un sous-ensemble (2 choix indépendants par élément), ce qui donne $2^n$ parties en tout, y compris l'ensemble vide et l'ensemble entier.

La méthode

1
Je dénombre les éléments de l'ensemble : il en contient $n$ .
2
Je justifie la formule : à chaque élément $x_i$ , j'associe un bit $b_i \in \{0, 1\}$ (0 = absent, 1 = présent dans le sous-ensemble). Un n-uplet $(b_1, \ldots, b_n)$ détermine un unique sous-ensemble.
3
J'applique : le nombre total de parties est $2^n$ (nombre de n-uplets de $\{0,1\}$ ).

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Combien de parties l'ensemble $E = \{1, 2, 3\}$ possède-t-il ? Les lister.

Étape 1 —

Je dénombre les éléments de l'ensemble : il en contient

n

.

$E$ contient $n = 3$ éléments.

Étape 2 —

Je justifie la formule : à chaque élément

x_i

, j'associe un bit

b_i \in \{0, 1\}

(0 = absent, 1 = présent dans le sous-ensemble). Un n-uplet

(b_1, \ldots, b_n)

détermine un unique sous-ensemble.

Chaque élément est présent ( $1$ ) ou absent ( $0$ ) : les $8$ triplets $(b_1, b_2, b_3)$ de $\{0,1\}^3$ correspondent aux $8$ parties.

Étape 3 —

J'applique : le nombre total de parties est

2^n

(nombre de n-uplets de

\{0,1\}

).

Nombre de parties $= 2^3 = 8$ : $\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{3\}, \{1,2\}, \{1,3\}, \{2,3\}, \{1,2,3\}$ .

$E = \{1,2,3\}$ possède $2^3 = 8$ parties.

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En appliquant la formule $2^n$ (correspondance avec les n-uplets de $\{0,1\}$ )