Comment résoudre une équation… : En posant z = x + iy et en séparant… — maths expertes | MetMat

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Résoudre

Comment résoudre une équation faisant intervenir $z$ et $\bar{z}$ ?

En posant $z = x + iy$ et en séparant parties réelle et imaginaire pour obtenir un système réel

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Résoudre $z + \bar{z} = 4$ dans $\mathbb{C}$ .

La méthode

1
Poser $z = x + iy$ avec $x, y \in \mathbb{R}$ , d'où $\bar{z} = x - iy$ .
2
Substituer dans l'équation et développer pour obtenir une expression de la forme $A + iB = 0$ (ou $= C + iD$ ).
3
Identifier les parties réelle et imaginaire : $A = 0$ et $B = 0$ (ou $A = C$ et $B = D$ ), ce qui donne un système $2 \times 2$ en $x$ et $y$ .
4
Résoudre le système et conclure en donnant $z = x + iy$ .

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Résoudre $z + \bar{z} = 4$ dans $\mathbb{C}$ .

$z = x + iy$ , $\bar{z} = x - iy$ .

$z + \bar{z} = (x + iy) + (x - iy) = 2x$ .

Partie réelle : $2x = 4 \Rightarrow x = 2$ . Partie imaginaire : $0 = 0$ (toujours vrai).

Les solutions sont tous les $z = 2 + iy$ avec $y \in \mathbb{R}$ , i.e. $\mathrm{Re}(z) = 2$ .

$z \in \{2 + iy \mid y \in \mathbb{R}\}$

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Comment résoudre une équation faisant intervenir zzz et zˉ\bar{z}zˉ ?

En posant z=x+iyz = x + iyz=x+iy et en séparant parties réelle et imaginaire pour obtenir un système réel

Pour comprendre, passons aux exercices.

Comment résoudre une équation faisant intervenir $z$ et $\bar{z}$ ?

En posant $z = x + iy$ et en séparant parties réelle et imaginaire pour obtenir un système réel