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Comment résoudre une équation… : En multipliant par bar a pour obtenir z =… — maths expertes | MetMat

Méthodes › Terminale Spécialité Maths + Maths Expertes › Nombres complexes : Algèbre

Comment résoudre une équation linéaire $az = b$ dans $\mathbb{C}$ ?

En multipliant par $\bar{a}$ pour obtenir $z = b\bar{a}/|a|^2$

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Résoudre $(2 + i)z = 3 - i$ dans $\mathbb{C}$ .

La méthode

1
Vérifier que $a \neq 0$ (sinon l'équation n'a pas de solution ou est indéterminée).
2
Calculer $\bar{a}$ et $|a|^2 = a\bar{a}$ .
Comment déterminer le module d'un nombre complexe ?Voir
3
Écrire $z = \dfrac{b\bar{a}}{|a|^2}$ et développer le produit $b\bar{a}$ pour obtenir la forme $x + iy$ .

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Résoudre $(2 + i)z = 3 - i$ dans $\mathbb{C}$ .

$a = 2 + i \neq 0$ .

$\bar{a} = 2 - i$ , $|a|^2 = 4 + 1 = 5$ .

$z = \dfrac{(3-i)(2-i)}{5} = \dfrac{6 - 3i - 2i + i^2}{5} = \dfrac{6 - 5i - 1}{5} = \dfrac{5 - 5i}{5} = 1 - i$ .

$z = 1 - i$

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Pour aller plus loin

La question

Comment résoudre une équation linéaire $az = b$ dans $\mathbb{C}$ ?

Le chapitre

Nombres complexes : Algèbre
Toutes les méthodes — Terminale Spécialité Maths + Maths Expertes

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Comment résoudre une équation linéaire az=baz = baz=b dans C\mathbb{C}C ?

En multipliant par aˉ\bar{a}aˉ pour obtenir z=baˉ/∣a∣2z = b\bar{a}/|a|^2z=baˉ/∣a∣2

Pour comprendre, passons aux exercices.

Comment résoudre une équation linéaire $az = b$ dans $\mathbb{C}$ ?

En multipliant par $\bar{a}$ pour obtenir $z = b\bar{a}/|a|^2$