En multipliant par $\bar{a}$ pour obtenir $z = b\bar{a}/|a|^2$

Trouver l'unique solution de $az = b$ sous forme algébrique sans passer par les coordonnées réelles et imaginaires.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Résoudre $(2 + i)z = 3 - i$ dans $\mathbb{C}$ .

L'objectif

Trouver l'unique solution de $az = b$ sous forme algébrique sans passer par les coordonnées réelles et imaginaires.

Le principe

Si $a \neq 0$ , l'unique solution est $z = \dfrac{b}{a} = \dfrac{b\bar{a}}{|a|^2}$ , car $a\bar{a} = |a|^2 \in \mathbb{R}^*$ .

La méthode

1
Vérifier que $a \neq 0$ (sinon l'équation n'a pas de solution ou est indéterminée).
2
Calculer $\bar{a}$ et $|a|^2 = a\bar{a}$ .
Comment déterminer le module d'un nombre complexe ?Voir
3
Écrire $z = \dfrac{b\bar{a}}{|a|^2}$ et développer le produit $b\bar{a}$ pour obtenir la forme $x + iy$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Résoudre $(2 + i)z = 3 - i$ dans $\mathbb{C}$ .

Étape 1 —

Vérifier que

a \neq 0

(sinon l'équation n'a pas de solution ou est indéterminée).

$a = 2 + i \neq 0$ .

Étape 2 —

Calculer

\bar{a}

|a|^2 = a\bar{a}

$\bar{a} = 2 - i$ , $|a|^2 = 4 + 1 = 5$ .

Étape 3 —

Écrire

z = \dfrac{b\bar{a}}{|a|^2}

et développer le produit

b\bar{a}

pour obtenir la forme

x + iy

$z = \dfrac{(3-i)(2-i)}{5} = \dfrac{6 - 3i - 2i + i^2}{5} = \dfrac{6 - 5i - 1}{5} = \dfrac{5 - 5i}{5} = 1 - i$ .

$z = 1 - i$

Application guidée

Résoudre $(1 + 2i)z = 5$ dans $\mathbb{C}$ .

Application autonome 1

Résoudre $(3 - 2i)z = 2 + 4i$ dans $\mathbb{C}$ .

Application autonome 2

Résoudre $iz = 2 - 3i$ dans $\mathbb{C}$ .

Application autonome 3

Résoudre $(1 + i)z = 1 + 3i$ dans $\mathbb{C}$ .

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