Comment déterminer les diviseurs d'un entier et établir des critères de divisibilité ?

En établissant un critère de divisibilité via les congruences (ex. : $n \equiv 0 \pmod{3}$ ssi la somme des chiffres de $n$ est divisible par $3$ )

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Divisibilité de $123$ par $3$

La méthode

1
Écrire $n = a_k \cdot 10^k + \cdots + a_1 \cdot 10 + a_0$ en décomposition décimale.
2
Utiliser la congruence de la base : par exemple $10 \equiv 1 \pmod{9}$ donc $10^k \equiv 1 \pmod{9}$ , et ainsi $n \equiv a_k + \cdots + a_1 + a_0 \pmod{9}$ .
3
Conclure : $d \mid n$ ssi la quantité obtenue (somme des chiffres, somme alternée…) est congrue à $0$ modulo $d$ .

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Divisibilité de $123$ par $3$

1

$123 = 1 \cdot 10^2 + 2 \cdot 10 + 3$ .

2

$10 \equiv 1 \pmod{3}$ donc $123 \equiv 1 + 2 + 3 = 6 \pmod{3}$ .

3

$6 \equiv 0 \pmod{3}$ , donc $3 \mid 123$ .

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Comment déterminer les diviseurs d'un entier et établir des critères de divisibilité ?

En établissant un critère de divisibilité via les congruences (ex. : n≡0(mod3)n \equiv 0 \pmod{3}n≡0(mod3) ssi la somme des chiffres de nnn est divisible par 333)

Pour comprendre, passons aux exercices.

En établissant un critère de divisibilité via les congruences (ex. : $n \equiv 0 \pmod{3}$ ssi la somme des chiffres de $n$ est divisible par $3$ )