Comment calculer les termes successifs d'une suite définie par récurrence ?

Calculer les termes par algorithme (boucle)

Calculer efficacement un terme de rang élevé d'une suite récurrente grâce à un algorithme à boucle.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $u_0 = 5$ et $u_{n+1} = 2u_n + 3$ . Décrire l'algorithme permettant de calculer $u_{10}$ .

L'objectif

Calculer efficacement un terme de rang élevé d'une suite récurrente grâce à un algorithme à boucle.

Le principe

Une boucle répète l'application de la relation de récurrence autant de fois que nécessaire pour atteindre le rang voulu.

La méthode

1
Initialiser une variable $u$ avec la valeur de $u_0$ (ou $u_1$ ) et un compteur $n = 0$ .
2
Écrire la boucle : tant que $n < N$ , effectuer $u \leftarrow f(u)$ et incrémenter $n$ de 1.
3
À la fin de la boucle, la variable $u$ contient la valeur $u_N$ . Lire et interpréter le résultat.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Soit $u_0 = 5$ et $u_{n+1} = 2u_n + 3$ . Décrire l'algorithme permettant de calculer $u_{10}$ .

Étape 1 —

Initialiser une variable

u

avec la valeur de

u_0

(ou

u_1

) et un compteur

n = 0

.

On initialise : $u \leftarrow 5$ , $n \leftarrow 0$ .

Étape 2 —

Écrire la boucle : tant que

n < N

, effectuer

u \leftarrow f(u)

et incrémenter

n

de 1.

Boucle : tant que $n < 10$ , faire $u \leftarrow 2u + 3$ et $n \leftarrow n + 1$ .

Étape 3 —

À la fin de la boucle, la variable

u

contient la valeur

u_N

. Lire et interpréter le résultat.

Après 10 itérations, $u$ contient $u_{10}$ . En déroulant : $u_1=13$ , $u_2=29$ , …, $u_{10} = 3 \times 2^{10} - 3 = 3069$ .

$u_{10} = 3069$ .

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