Comment calculer les termes successifs d'une suite définie par récurrence ?

Calculer les termes par algorithme (boucle)

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $u_0 = 5$ et $u_{n+1} = 2u_n + 3$ . Décrire l'algorithme permettant de calculer $u_{10}$ .

La méthode

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Initialiser une variable $u$ avec la valeur de $u_0$ (ou $u_1$ ) et un compteur $n = 0$ .
2
Écrire la boucle : tant que $n < N$ , effectuer $u \leftarrow f(u)$ et incrémenter $n$ de 1.
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À la fin de la boucle, la variable $u$ contient la valeur $u_N$ . Lire et interpréter le résultat.

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Soit $u_0 = 5$ et $u_{n+1} = 2u_n + 3$ . Décrire l'algorithme permettant de calculer $u_{10}$ .

1

On initialise : $u \leftarrow 5$ , $n \leftarrow 0$ .

2

Boucle : tant que $n < 10$ , faire $u \leftarrow 2u + 3$ et $n \leftarrow n + 1$ .

3

Après 10 itérations, $u$ contient $u_{10}$ . En déroulant : $u_1=13$ , $u_2=29$ , …, $u_{10} = 3 \times 2^{10} - 3 = 3069$ .

$u_{10} = 3069$ .

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