Comment analyser un test de… : En modélisant avec M (malade) et T^+… — maths complémentaires | MetMat

Comment analyser un test de dépistage (sensibilité, spécificité, valeurs prédictives) ?

En modélisant avec $M$ (malade) et $T^+$ (test positif), en calculant $\mathrm{VPP} = P_{T^+}(M) = \dfrac{\mathrm{Se} \times p}{\mathrm{Se} \times p + (1-\mathrm{Sp})(1-p)}$ et $\mathrm{VPN}$ par Bayes, en faisant varier la prévalence $p$

Calculer et interpréter la valeur prédictive positive (VPP) et la valeur prédictive négative (VPN) d'un test de dépistage pour une prévalence donnée.

Maîtriser

Reconnaître

Résoudre

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Un test de dépistage du VIH a une sensibilité $\mathrm{Se} = 0{,}99$ et une spécificité $\mathrm{Sp} = 0{,}998$ . La prévalence dans une population générale est $p = 0{,}001$ . Calculer la VPP et la VPN. Commenter.

L'objectif

Calculer et interpréter la valeur prédictive positive (VPP) et la valeur prédictive négative (VPN) d'un test de dépistage pour une prévalence donnée.

Le principe

En notant $p = P(M)$ la prévalence, $\mathrm{Se} = P_{M}(T^+)$ la sensibilité et $\mathrm{Sp} = P_{\bar{M}}(T^-)$ la spécificité, la VPP et la VPN s'obtiennent par la formule de Bayes après calcul de $P(T^+)$ par les probabilités totales.

La méthode

1
Définir les événements $M$ (être malade) et $T^+$ (test positif), et lire les données : prévalence $p = P(M)$ , sensibilité $\mathrm{Se} = P_M(T^+)$ , spécificité $\mathrm{Sp} = P_{\bar{M}}(T^-)$ soit taux de faux positifs $1 - \mathrm{Sp} = P_{\bar{M}}(T^+)$ .
2
Calculer $P(T^+)$ par la formule des probabilités totales : $P(T^+) = \mathrm{Se} \times p + (1 - \mathrm{Sp}) \times (1 - p)$ .
Comment appliquer la formule des probabilités totales ?Voir
3
Calculer la VPP par Bayes : $\mathrm{VPP} = P_{T^+}(M) = \dfrac{\mathrm{Se} \times p}{P(T^+)}$ . Calculer la VPN : $\mathrm{VPN} = P_{T^-}(\bar{M}) = \dfrac{\mathrm{Sp} \times (1-p)}{P(T^-)}$ où $P(T^-) = 1 - P(T^+)$ .
Comment inverser un conditionnement avec la formule de Bayes ?Voir
4
Interpréter : la VPP est la probabilité d'être réellement malade si le test est positif ; la VPN est la probabilité d'être sain si le test est négatif. Analyser l'effet d'une variation de la prévalence $p$ sur ces valeurs.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Étape 1 —

Définir les événements

M

(être malade) et

T^+

(test positif), et lire les données : prévalence

p = P(M)

, sensibilité

\mathrm{Se} = P_M(T^+)

, spécificité

\mathrm{Sp} = P_{\bar{M}}(T^-)

soit taux de faux positifs

1 - \mathrm{Sp} = P_{\bar{M}}(T^+)

$p = 0{,}001$ , $\mathrm{Se} = 0{,}99$ , taux de faux positifs $= 1 - 0{,}998 = 0{,}002$ .

Étape 2 —

Calculer

P(T^+)

par la formule des probabilités totales :

P(T^+) = \mathrm{Se} \times p + (1 - \mathrm{Sp}) \times (1 - p)

$P(T^+) = 0{,}99 \times 0{,}001 + 0{,}002 \times 0{,}999 = 0{,}00099 + 0{,}001998 = 0{,}002988$ .

Étape 3 —

Calculer la VPP par Bayes :

\mathrm{VPP} = P_{T^+}(M) = \dfrac{\mathrm{Se} \times p}{P(T^+)}

. Calculer la VPN :

\mathrm{VPN} = P_{T^-}(\bar{M}) = \dfrac{\mathrm{Sp} \times (1-p)}{P(T^-)}

où

P(T^-) = 1 - P(T^+)

$\mathrm{VPP} = \dfrac{0{,}99 \times 0{,}001}{0{,}002988} \approx \dfrac{0{,}00099}{0{,}002988} \approx 0{,}331$ . $P(T^-) = 1 - 0{,}002988 = 0{,}997012$ . $\mathrm{VPN} = \dfrac{0{,}998 \times 0{,}999}{0{,}997012} \approx \dfrac{0{,}997002}{0{,}997012} \approx 0{,}99999$ .

Étape 4 —

Interpréter : la VPP est la probabilité d'être réellement malade si le test est positif ; la VPN est la probabilité d'être sain si le test est négatif. Analyser l'effet d'une variation de la prévalence

p

sur ces valeurs.

Dans une population peu touchée ( $p = 0{,}1\,\%$ ), même avec un excellent test, seulement 33 % des positifs sont réellement malades. La VPN est quasi certaine : un négatif est presque sûrement sain. Cela justifie un test de confirmation après un test positif.

$\mathrm{VPP} \approx 33{,}1\,\%$ et $\mathrm{VPN} \approx 99{,}999\,\%$ . La faible prévalence dégrade fortement la VPP.

Les applications suivantes et la correction guidée sont réservées aux membres Premium

La méthode et sa première application corrigée restent en accès libre. Le Premium débloque les applications suivantes, l'aide IA et le suivi de ta maîtrise.