En appliquant $P_A(B) = \dfrac{P_B(A)\,P(B)}{P(A)}$ , où $P(A)$ est calculé au préalable par la formule des probabilités totales

Calculer $P_A(B)$ (probabilité de la cause $B$ sachant l'effet observé $A$ ) à partir des probabilités directes.

L'objectif

Calculer $P_A(B)$ (probabilité de la cause $B$ sachant l'effet observé $A$ ) à partir des probabilités directes.

Le principe

La formule de Bayes $P_B(A) = \dfrac{P_A(B)\,P(A)}{P(B)}$ permet d'inverser le sens du conditionnement ; on l'utilise ici sous la forme $P_A(B) = \dfrac{P_B(A)\,P(B)}{P(A)}$ .

La méthode

1
Construire l'arbre pondéré et identifier toutes les probabilités connues : $P(B)$ , $P(\bar{B})$ , $P_B(A)$ , $P_{\bar{B}}(A)$ .
2
Calculer $P(A)$ par la formule des probabilités totales : $P(A) = P(B) \times P_B(A) + P(\bar{B}) \times P_{\bar{B}}(A)$ .
Comment appliquer la formule des probabilités totales ?Voir
3
Appliquer la formule de Bayes : $P_A(B) = \dfrac{P(B) \times P_B(A)}{P(A)}$ et simplifier la fraction.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Dans une population, 5 % des individus sont malades ( $M$ ). Un test a une sensibilité $P_M(T^+) = 0{,}90$ et une spécificité $P_{\bar{M}}(T^-) = 0{,}95$ , donc $P_{\bar{M}}(T^+) = 0{,}05$ . Calculer la valeur prédictive positive $P_{T^+}(M)$ .

Étape 1 —

Construire l'arbre pondéré et identifier toutes les probabilités connues :

P(B)

P(\bar{B})

P_B(A)

P_{\bar{B}}(A)

$P(M) = 0{,}05$ , $P(\bar{M}) = 0{,}95$ , $P_M(T^+) = 0{,}90$ , $P_{\bar{M}}(T^+) = 0{,}05$ .

Étape 2 —

Calculer

P(A)

par la formule des probabilités totales :

P(A) = P(B) \times P_B(A) + P(\bar{B}) \times P_{\bar{B}}(A)

$P(T^+) = 0{,}05 \times 0{,}90 + 0{,}95 \times 0{,}05 = 0{,}045 + 0{,}0475 = 0{,}0925$ .

Étape 3 —

Appliquer la formule de Bayes :

P_A(B) = \dfrac{P(B) \times P_B(A)}{P(A)}

et simplifier la fraction.

$P_{T^+}(M) = \dfrac{P(M) \times P_M(T^+)}{P(T^+)} = \dfrac{0{,}05 \times 0{,}90}{0{,}0925} = \dfrac{0{,}045}{0{,}0925} \approx 0{,}486$ .

$\mathrm{VPP} = P_{T^+}(M) \approx 48{,}6\,\%$ : moins d'un positif sur deux est réellement malade.

Application guidée

Une pièce vient de l'usine $U_1$ avec probabilité $0{,}7$ ou de $U_2$ avec probabilité $0{,}3$ . Le taux de défaut est $2\,\%$ pour $U_1$ et $6\,\%$ pour $U_2$ . On tire une pièce défectueuse ( $D$ ). Calculer la probabilité qu'elle vienne de $U_2$ .

Application autonome 1

Une urne $A$ contient 2 rouges et 3 bleues ; une urne $B$ contient 4 rouges et 1 bleue. On choisit l'urne $A$ avec probabilité $\frac{1}{2}$ et l'urne $B$ avec probabilité $\frac{1}{2}$ , puis on tire une boule rouge ( $R$ ). Quelle est la probabilité que l'urne choisie soit $B$ ?

Application autonome 2

Un sportif suit un entraînement intensif ( $I$ ) avec probabilité $0{,}4$ ou modéré ( $\bar{I}$ ) avec probabilité $0{,}6$ . Après entraînement intensif il se blesse ( $B$ ) avec probabilité $0{,}15$ , après modéré avec probabilité $0{,}04$ . Sachant qu'il s'est blessé, calculer la probabilité qu'il avait suivi un entraînement intensif.

Application autonome 3

Un accusé est coupable avec probabilité initiale $P(G) = 0{,}2$ . Un expert témoigne à charge ( $T$ ) avec probabilité $0{,}85$ si l'accusé est coupable et avec probabilité $0{,}10$ s'il est innocent. Calculer $P_T(G)$ .

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En appliquant PA(B)=PB(A) P(B)P(A)P_A(B) = \dfrac{P_B(A)\,P(B)}{P(A)}PA​(B)=P(A)PB​(A)P(B)​, où P(A)P(A)P(A) est calculé au préalable par la formule des probabilités totales

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En appliquant $P_A(B) = \dfrac{P_B(A)\,P(B)}{P(A)}$ , où $P(A)$ est calculé au préalable par la formule des probabilités totales