Comment appliquer la formule… : En identifiant un système complet… — maths complémentaires | MetMat

Comment appliquer la formule des probabilités totales ?

En identifiant un système complet d'événements $(B_i)$ partitionnant l'univers, puis en calculant $P(A) = P(B)\,P_B(A) + P(\bar{B})\,P_{\bar{B}}(A)$

Calculer la probabilité d'un événement $A$ en décomposant selon deux causes $B$ et $\bar{B}$ .

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Une usine possède deux machines $M_1$ et $M_2$ . La machine $M_1$ produit 60 % des pièces avec 2 % de défauts ; $M_2$ produit 40 % avec 5 % de défauts. On prend une pièce au hasard. Calculer la probabilité qu'elle soit défectueuse ( $D$ ).

L'objectif

Calculer la probabilité d'un événement $A$ en décomposant selon deux causes $B$ et $\bar{B}$ .

Le principe

En notant les deux branches d'un arbre pondéré, on additionne les probabilités des chemins menant à $A$ : $P(A) = P(B)\,P_B(A) + P(\bar{B})\,P_{\bar{B}}(A)$ .

La méthode

1
Identifier la partition $\{B, \bar{B}\}$ de l'univers (ou plus généralement $\{B_1, B_2, \ldots, B_n\}$ ) et vérifier que ces événements sont exhaustifs et incompatibles.
2
Construire l'arbre pondéré : inscrire $P(B)$ et $P(\bar{B})$ sur les premières branches, puis $P_B(A)$ , $P_B(\bar{A})$ , $P_{\bar{B}}(A)$ , $P_{\bar{B}}(\bar{A})$ sur les secondes branches.
3
Calculer $P(A) = P(B) \times P_B(A) + P(\bar{B}) \times P_{\bar{B}}(A)$ en multipliant les probabilités le long de chaque chemin menant à $A$ , puis en additionnant.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Étape 1 —

Identifier la partition

\{B, \bar{B}\}

de l'univers (ou plus généralement

\{B_1, B_2, \ldots, B_n\}

) et vérifier que ces événements sont exhaustifs et incompatibles.

La partition est $\{M_1, M_2\}$ avec $P(M_1) = 0{,}6$ et $P(M_2) = 0{,}4$ . On a $P_{M_1}(D) = 0{,}02$ et $P_{M_2}(D) = 0{,}05$ .

Étape 2 —

Construire l'arbre pondéré : inscrire

P(B)

P(\bar{B})

sur les premières branches, puis

P_B(A)

P_B(\bar{A})

P_{\bar{B}}(A)

P_{\bar{B}}(\bar{A})

sur les secondes branches.

On trace l'arbre : $M_1 \to D$ (prob. $0{,}6 \times 0{,}02 = 0{,}012$ ) et $M_2 \to D$ (prob. $0{,}4 \times 0{,}05 = 0{,}020$ ).

Étape 3 —

Calculer

P(A) = P(B) \times P_B(A) + P(\bar{B}) \times P_{\bar{B}}(A)

en multipliant les probabilités le long de chaque chemin menant à

A

, puis en additionnant.

$P(D) = 0{,}012 + 0{,}020 = 0{,}032$ .

$P(D) = 0{,}032$ , soit 3,2 % de pièces défectueuses.

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Comment appliquer la formule des probabilités totales ?

En identifiant un système complet d'événements (Bi)(B_i)(Bi​) partitionnant l'univers, puis en calculant P(A)=P(B) PB(A)+P(Bˉ) PBˉ(A)P(A) = P(B)\,P_B(A) + P(\bar{B})\,P_{\bar{B}}(A)P(A)=P(B)PB​(A)+P(Bˉ)PBˉ​(A)

Pour comprendre, fais des exercices !

En identifiant un système complet d'événements $(B_i)$ partitionnant l'univers, puis en calculant $P(A) = P(B)\,P_B(A) + P(\bar{B})\,P_{\bar{B}}(A)$