Comment calculer une… : En appliquant P_B(A) = P(Acap B) P(B)… — maths complémentaires | MetMat

Comment calculer une probabilité conditionnelle ?

En appliquant $P_B(A) = \dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$ après avoir modélisé la situation par un arbre pondéré et identifié les probabilités de chaque branche

Calculer la probabilité qu'un événement $A$ se réalise sachant que $B$ est réalisé.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Une urne contient 4 boules rouges et 6 boules bleues. On tire deux boules successivement sans remise. On note $R_1$ (première boule rouge) et $R_2$ (deuxième boule rouge). Calculer $P_{R_1}(R_2)$ .

L'objectif

Calculer la probabilité qu'un événement $A$ se réalise sachant que $B$ est réalisé.

Le principe

La probabilité conditionnelle est le rapport $P_B(A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$ , lu directement sur l'arbre pondéré.

La méthode

1
Modéliser la situation par un arbre pondéré à deux niveaux : le premier niveau représente les issues de $B$ (et $\bar{B}$ ), le second les issues de $A$ (et $\bar{A}$ ) conditionnellement à chaque branche.
2
Identifier la branche correspondant à $B$ et lire la probabilité $P(B)$ portée sur cette branche. Calculer $P(A \cap B)$ en multipliant les probabilités le long du chemin menant à $A \cap B$ .
3
Appliquer la formule $P_B(A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$ et simplifier la fraction obtenue.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Une urne contient 4 boules rouges et 6 boules bleues. On tire deux boules successivement sans remise. On note $R_1$ (première boule rouge) et $R_2$ (deuxième boule rouge). Calculer $P_{R_1}(R_2)$ .

Étape 1 —

Modéliser la situation par un arbre pondéré à deux niveaux : le premier niveau représente les issues de

B

(et

\bar{B}

), le second les issues de

A

(et

\bar{A}

) conditionnellement à chaque branche.

On construit un arbre : premier niveau $R_1$ (prob. $\frac{4}{10}$ ) et $\bar{R_1}$ (prob. $\frac{6}{10}$ ) ; sur la branche $R_1$ , il reste 3 rouges sur 9 boules.

Étape 2 —

Identifier la branche correspondant à

B

et lire la probabilité

P(B)

portée sur cette branche. Calculer

P(A \cap B)

en multipliant les probabilités le long du chemin menant à

A \cap B

$P(R_1) = \frac{4}{10}$ et $P(R_1 \cap R_2) = \frac{4}{10} \times \frac{3}{9} = \frac{12}{90} = \frac{2}{15}$ .

Étape 3 —

Appliquer la formule

P_B(A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}

et simplifier la fraction obtenue.

$P_{R_1}(R_2) = \dfrac{P(R_1 \cap R_2)}{P(R_1)} = \dfrac{\frac{2}{15}}{\frac{4}{10}} = \dfrac{2}{15} \times \dfrac{10}{4} = \dfrac{20}{60} = \dfrac{1}{3}$ .

$P_{R_1}(R_2) = \dfrac{1}{3}$ .

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Comment calculer une probabilité conditionnelle ?

En appliquant PB(A)=P(A∩B)P(B)P_B(A) = \dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}PB​(A)=P(B)P(A∩B)​ après avoir modélisé la situation par un arbre pondéré et identifié les probabilités de chaque branche

Pour comprendre, fais des exercices !

En appliquant $P_B(A) = \dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$ après avoir modélisé la situation par un arbre pondéré et identifié les probabilités de chaque branche