Comment montrer la convergence… : En majorant u_n par v_n avec sum v_n… — ECG2 appliquées | MetMat

Comment montrer la convergence d'une série à termes positifs par comparaison ?

En majorant $u_n$ par $v_n$ avec $\sum v_n$ convergente

Démontrer la convergence de $\sum u_n$ en exhibant une série majorante convergente.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Étudier la convergence de $\sum_{n \geq 1} \dfrac{1}{n^2 + n}$ .

L'objectif

Démontrer la convergence de $\sum u_n$ en exhibant une série majorante convergente.

Le principe

Si $0 \leq u_n \leq v_n$ à partir d'un certain rang et si $\sum v_n$ converge, alors $\sum u_n$ converge ; les hypothèses de positivité sont indispensables.

La méthode

1
Je vérifie que $u_n \geq 0$ pour $n$ assez grand (hypothèse cruciale du théorème de comparaison).
2
Je cherche une suite $(v_n)$ positive telle que $u_n \leq v_n$ pour $n$ assez grand, et telle que la nature de $\sum v_n$ est connue.
3
Je justifie la convergence de $\sum v_n$ (série géométrique, série de Riemann, etc.).
4
Je conclus à la convergence de $\sum u_n$ par le théorème de comparaison des séries à termes positifs.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Étudier la convergence de $\sum_{n \geq 1} \dfrac{1}{n^2 + n}$ .

Étape 1 —

Je vérifie que

u_n \geq 0

pour

n

assez grand (hypothèse cruciale du théorème de comparaison).

Pour tout $n \geq 1$ , $u_n = \dfrac{1}{n^2+n} > 0$ .

Étape 2 —

Je cherche une suite

(v_n)

positive telle que

u_n \leq v_n

pour

n

assez grand, et telle que la nature de

\sum v_n

est connue.

Je majore : $u_n = \dfrac{1}{n^2+n} \leq \dfrac{1}{n^2}$ pour tout $n \geq 1$ .

Étape 3 —

Je justifie la convergence de

\sum v_n

(série géométrique, série de Riemann, etc.).

La série $\sum 1/n^2$ est une série de Riemann d'exposant $2 > 1$ , donc convergente.

Étape 4 —

Je conclus à la convergence de

\sum u_n

par le théorème de comparaison des séries à termes positifs.

Par comparaison, $\sum \dfrac{1}{n^2+n}$ converge.

$\sum \dfrac{1}{n^2+n}$ converge.

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Comment montrer la convergence d'une série à termes positifs par comparaison ?

En majorant unu_nun​ par vnv_nvn​ avec ∑vn\sum v_n∑vn​ convergente

Pour comprendre, fais des exercices !

En majorant $u_n$ par $v_n$ avec $\sum v_n$ convergente