Comment montrer que $f = o(g)$ au voisinage d'un point $x_0$ ?

En montrant que $f/g \to 0$ en $x_0$

Montrer que $f$ est négligeable devant $g$ au voisinage de $x_0$ , noté $f = \underset{x_0}{o}(g)$ .

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Montrer que $x^2 = \underset{0}{o}(x)$ .

L'objectif

Montrer que $f$ est négligeable devant $g$ au voisinage de $x_0$ , noté $f = \underset{x_0}{o}(g)$ .

Le principe

Si $g$ ne s'annule pas au voisinage de $x_0$ (sauf éventuellement en $x_0$ ), alors $f = \underset{x_0}{o}(g)$ si et seulement si $\displaystyle \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = 0$ .

La méthode

1
Je vérifie que $g$ ne s'annule pas sur un voisinage épointé de $x_0$ pour pouvoir former le quotient $f/g$ .
2
Je calcule la limite $\displaystyle \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)}$ en utilisant les règles usuelles de calcul de limites (croissances comparées notamment).
3
Si cette limite vaut 0, je conclus que $f(x) = \underset{x_0}{o}(g(x))$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Montrer que $x^2 = \underset{0}{o}(x)$ .

Étape 1 —

Je vérifie que

g

ne s'annule pas sur un voisinage épointé de

x_0

pour pouvoir former le quotient

f/g

.

La fonction $g(x) = x$ ne s'annule pas sur $\mathbb{R}^*$ , qui est un voisinage épointé de 0.

Étape 2 —

Je calcule la limite

\displaystyle \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)}

en utilisant les règles usuelles de calcul de limites (croissances comparées notamment).

Je calcule $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x} = \lim_{x \to 0} x = 0$ .

Étape 3 —

Si cette limite vaut 0, je conclus que

f(x) = \underset{x_0}{o}(g(x))

.

Donc $x^2 = \underset{0}{o}(x)$ .

$x^2 = \underset{0}{o}(x)$

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Comment montrer que f=o(g)f = o(g)f=o(g) au voisinage d'un point x0x_0x0​ ?

En montrant que f/g→0f/g \to 0f/g→0 en x0x_0x0​

Pour comprendre, fais des exercices !

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En montrant que $f/g \to 0$ en $x_0$