Comment montrer que $f \sim g$ au voisinage d'un point $x_0$ ?

En montrant que $f/g \to 1$ en $x_0$

Montrer que $f$ est équivalente à $g$ au voisinage de $x_0$ , noté $f \underset{x_0}{\sim} g$ .

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Montrer que $x^2 + 3x + 1 \underset{+\infty}{\sim} x^2$ .

L'objectif

Montrer que $f$ est équivalente à $g$ au voisinage de $x_0$ , noté $f \underset{x_0}{\sim} g$ .

Le principe

Si $g$ ne s'annule pas au voisinage de $x_0$ (sauf éventuellement en $x_0$ ), alors $f \underset{x_0}{\sim} g$ si et seulement si $\displaystyle \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = 1$ .

La méthode

1
Je vérifie que $g$ ne s'annule pas sur un voisinage épointé de $x_0$ pour former le quotient $f/g$ .
2
Je calcule la limite $\displaystyle \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)}$ , éventuellement en factorisant par le terme dominant.
3
Si cette limite vaut 1, je conclus que $f(x) \underset{x_0}{\sim} g(x)$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Montrer que $x^2 + 3x + 1 \underset{+\infty}{\sim} x^2$ .

Étape 1 —

Je vérifie que

g

ne s'annule pas sur un voisinage épointé de

x_0

pour former le quotient

f/g

.

La fonction $g(x) = x^2$ ne s'annule pas sur $]0, +\infty[$ , voisinage de $+\infty$ .

Étape 2 —

Je calcule la limite

\displaystyle \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)}

, éventuellement en factorisant par le terme dominant.

Je calcule $\displaystyle \frac{x^2 + 3x + 1}{x^2} = 1 + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2} \xrightarrow[x \to +\infty]{} 1$ .

Étape 3 —

Si cette limite vaut 1, je conclus que

f(x) \underset{x_0}{\sim} g(x)

.

Donc $x^2 + 3x + 1 \underset{+\infty}{\sim} x^2$ .

$x^2 + 3x + 1 \underset{+\infty}{\sim} x^2$

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Comment montrer que f∼gf \sim gf∼g au voisinage d'un point x0x_0x0​ ?

En montrant que f/g→1f/g \to 1f/g→1 en x0x_0x0​

Pour comprendre, fais des exercices !

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