Comment montrer que deux suites sont adjacentes et en déduire leur convergence ?

$u_{n+1}-u_n = \frac{1}{(n+1)!}>0$, donc $(u_n)$ est strictement croissante.

$v_{n+1}-v_n = \frac{1}{(n+1)!}+\frac{1}{(n+1)(n+1)!}-\frac{1}{n\cdot n!}$ ; un calcul montre $v_{n+1}-v_n = -\frac{1}{n(n+1)(n+1)!}<0$, donc $(v_n)$ est strictement décroissante.

$u_n-v_n = -\frac{1}{n\cdot n!}\to 0$ quand $n\to+\infty$.

$(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes, elles convergent donc vers une même limite $\ell$ (qui est $e$).