Comment calculer un produit (notamment télescopique) ?

En réécrivant $u_k = a_{k+1}/a_k$

Calculer un produit fini en le mettant sous forme télescopique $\prod (a_{k+1}/a_k)$ .

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Calculer $P = \prod_{k=1}^{n} \dfrac{k+1}{k}$ .

L'objectif

Calculer un produit fini en le mettant sous forme télescopique $\prod (a_{k+1}/a_k)$ .

Le principe

Pour toute suite $(a_k)$ ne s'annulant pas, $\prod_{k=m}^{n} \dfrac{a_{k+1}}{a_k} = \dfrac{a_{n+1}}{a_m}$ .

La méthode

1
Je cherche à écrire $u_k$ sous la forme $\dfrac{a_{k+1}}{a_k}$ pour une suite $(a_k)$ bien choisie (souvent en factorisant ou par passage au log).
2
Je vérifie l'identité obtenue par un calcul direct.
3
J'applique la formule télescopique : $\prod_{k=m}^{n} \dfrac{a_{k+1}}{a_k} = \dfrac{a_{n+1}}{a_m}$ .
4
Je simplifie l'expression finale.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Calculer $P = \prod_{k=1}^{n} \dfrac{k+1}{k}$ .

Étape 1 —

Je cherche à écrire

u_k

sous la forme

\dfrac{a_{k+1}}{a_k}

pour une suite

(a_k)

bien choisie (souvent en factorisant ou par passage au log).

Le terme général est déjà sous la forme $\dfrac{a_{k+1}}{a_k}$ avec $a_k = k$ .

Étape 2 —

Je vérifie l'identité obtenue par un calcul direct.

L'identité est immédiate.

Étape 3 —

J'applique la formule télescopique :

\prod_{k=m}^{n} \dfrac{a_{k+1}}{a_k} = \dfrac{a_{n+1}}{a_m}

.

J'applique la formule télescopique : $P = \dfrac{a_{n+1}}{a_1} = \dfrac{n+1}{1}$ .

Étape 4 —

Je simplifie l'expression finale.

Donc $P = n+1$ .

$P = n+1$ .

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Comment calculer un produit (notamment télescopique) ?

En réécrivant uk=ak+1/aku_k = a_{k+1}/a_kuk​=ak+1​/ak​

Pour comprendre, fais des exercices !

En réécrivant $u_k = a_{k+1}/a_k$